人教版八年级上册 导学案：133 等腰三角形 讲义.docx

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1、第二节等腰三角形讲义一、课标导航二、核心纲要1等腰三角形(D定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角.(2)性质两腰相等.两底角相等(简称为等边对等角等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合(简称为“三线合一).等腰三角形是轴对称图形，其顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线所在直线是对称轴.注：假设48=AC,那么NB=NCA。是AABC的中线、角平分线、高线.证明题目中的写法：高线中线角平分线判定有两条边相等的三角形是等腰三角形.有两个角相等的三角形是等腰三角形(简称“等角对等边).2 .等边三角

2、形(1)定义：有三条边相等的三角形叫做等边三角形.(2)性质：三边都相等，三个角都相等，每一个角都等于60.判定三条边都相等的三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是60。的等腰三角形是等边三角形.3 .直角三角形(1)定义：有一个角是直角的三角形是直角三角形.(2)性质有一个角是90；两锐角互余；如果一个锐角等于3(),那么它所对的直角边等于斜边的一半.(3)判定：有一个角是直角的三角形是直角三角形.4 .等腰直角三角(1)定义：顶角为90的等腰三角形叫做等腰直角三角形.(2)性质顶角等于90,底角等于45;两直角边相等；轴对称图形；三线合一.判定顶角为90的等腰三角

3、形，底角为45的等腰三角形.5 .等腰三角形的构造(1) “角平分线十平行线构造等腰三角形如下左图所示，OP平分NAOBCQ4,那么()CD是等腰三角形，如下右图所示，OP平分ZAOB,CD/OB1那么AOCD是等腰三角形.(2) “角平分线十垂线构造等腰三角形如下左图所示，AD是么BAC的平分线，ADIBC,得出等腰三角形(3) ”角平分线十中线构造等腰三角形如下中图所示，AD是ZBAC的平分线，D是BC中点，那么AABC是等腰三角形(4) “中点十垂直构造等腰三角形(垂直平分线)(如下右图所示)(5) “平行十等腰构造等腰三角形等腰4ABC,过腰或底上作腰或底的平行线(6) 腰三角形存在性

4、确实定如以下图所示，在直线1上找一点C,使得AABC是等腰三角形.(1)4B=AC,以A为圆心，AB为半径画圆，交直线1于两点G、C2,(2)A8=BC以B为圆心，AB为半径画圆，交直线1于两点C3、C4,(3)AC=BC,作AB的中垂线交直线1于Cs本节重点讲解：一个构造，一个确定，四个概念、性质和判定.三、全能突破基础演练1 .等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是().A.过顶点的直线B.底边上的高C.底边的中线D.顶角平分线所在的直线2 .等腰三角形的一个内角是50,那么另外两个角的度数分别为().3 .(1)要使得AABC是等腰三角形，那么需要满足以下条件中的().(2)以下条件能证明

5、AABC为等腰三角形的是()AD1BC,且AD平分BC;AD_18。于点D,且ZBAD=NeARAD平分BC边于点D,且AD平分NBACA.只有B.只有C.只有D.均可(3)如图13-21所示，在AABC中，D、E分别是AC、AB上的点，BD与CE相交于点0,给出四个条件：OB=OC;NEBo=NOCO;NBEO=NsO;BE=CD.上述四个条件中，选择两个可以判定ABC是等腰三角形的方法有().A.2种B.3种C.4种D.6种4 .等腰三角形顶角为30,腰长是4cm,那么三角形的面积为5 .(I)NAo8=30,点P在OA上，且OP=2,点P关于直线OB的对称点是Q,那么P0=(2)NAoB

6、=30,点P在NAOB的内部，OP=3,点P1和点P关于OA对称，点g和点P关于OB对称，那么耳、O、舄三点构成的三角形是角形，其周长为6 .(1)如图13-2-2所示，在aABC中，NABC和NACB的平分线交于点E,过点E作MN3。交AB于点M,交AC于点N,假设5M+CN=9,那么线段MN的长为(2)如图13-2-3所示，8C=3,NA8C和NACs的平分线相交于点0,0七AB,OAC,那么OEF的周长为7 .如图13-2-4所示，AB=AC=4c私力B=Oe,假设NABC为60,那么BE的长为8 .如图13-2-5所示，在AABC中，A3=AC,AO_1BcNH4。=40AO=AE,求

7、NCDE的度数.能力提升9 .如图13-2-6所示，C为线段AE上一动点(不与点A、E重合)，在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE,AD与BE交于点0,AD与BC交于点P,BE与CD交于点Q,连接PQ,以下结论：AD=BEPQHAEAP=BQ;DE=DPZAOB=60.其中完全正确的选项是()A.B.C.D.10 .连接正五边形A、4、A3、AP4,对角线交出一个正五边形片殳当及18s那么以图13-2-7中线段为边的三角形中，共有等腰三角形()个.11 .如图13-28所示，在等边三角形ABC中，BO=CE,AO与BE相交于点P,那么NAPE的度数是().12 .(1)如图13-2-

8、9所示，A、B两点在正方形网格的格点上，每个方格都是边长为1的正方形，点C也在格点上，且AABC为等腰三角形，那么符合条件的点C有()个.(2)等边aABC,在平面内找一点P,使aPBCZPAB、aPAC均为等腰三角形，具备这样条件的P点有()个.A.1个B.4个C.7个D.10个13 .(1)如图13-2-10所示，四边形ABCD中，AB=BO=DA=AC,那么四边形ABCD中，最大的内角的度数是().(2)如图13-2T1所示，O是四边形ABCD内一点，QA=OC,NABC=NAr)C=70,那么NDAO+NOCO的大小是().14 .(1)等腰三角形的周长为15CIn,其中一边长为3cm

9、.那么该等腰三角形的底边长为(2)等腰三角形的两条边为10、16,那么它的周长等于15 .(1)等腰三角形底边长为6cm,一腰上的中线把它的周长分成两局部的差为2cm,那么腰长为(2)AABC的周长为24,AB=ACA短_1BC于点D,假设AABD的周长为20,那么AD的长为(3)等腰三角形的周长为24,腰长为X,那么X的取值范围是16 .等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为60，那么这个等腰三角形的顶角为17 .如图13-2-12所示，在aABC中，A8=AC,A。是BC边上的高，点E、F是AD的三等分点，假设ABC的面积为125,那么图中阴影局部的面积为Cm2.18 .如图13-2-13所

10、示，在AABC中，4B=AC,NBAC=120,AC的垂直平分线EF交AC于点E,交BC于点F.求证：BF=ICF.19 .如图13-2T4所示，在AABC中，AB=AC,AO=AE求证：BD=CE.20 .如图13-2T5所示，AABC是等腰直角三角形，NBAC=90,BE是NABC的平分线,DEIBC,垂足为D.(1)请你写出图中所有的等腰三角形.(2)请你判断AD与BE垂直吗？并说明理由.(3)如果BC=10,求48+AE的长.21 .两个全等的含30,60角的三角板ADE和三角板ABC按图13-2-16所示方式放置，E、A、C三点在一条直线上，连接BD,取BD的中点M,连接ME、MC.

11、试判断aEMC的形状，并说明理由.22 .如图13-2-17所示，在AABC中，AB=AC,NBAC=90,BE平分NABGCDJ_BE于点D,且AFBC于点F,交BE于点H.(1)求证：cd=1be.2(2)探究BH与CD的大小关系，并证明.中考链接23 .(1)如图13-2T8所示，在RtaABC中，NAC8=9.0,AB的垂直平分线DE交于BC的延长线于点F,假设N/=30,OE=I,那么EF的长是().(2)如图13-2-19所示，NAOE=NBOE=I5,E/08,ECJ.08,假设EC=I,那么24 .如图13-2-20所示，AABC是等边三角形，D是AB边上的一点，以CD为边作等

12、边三角形CDE,使点E、A在直线DC的同侧，连接AE.求证：AE/7BC.巅峰突破25 .如图13-2-21所示，过边长为3的等边三角形ABC的边AB上一点P,作PEj_AC于点E,Q为BC延长线上一点，当PA=C。时，连接PQ交边AC于点D,那么DE的长为26 .数学课上，李老师出示了如下框中的题目.小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：(1)特殊情况探索结论当点E为AB的中点时，如图13-2-23(a)所示，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AEDB(填或=).(2)特例启发，解答题目解：题目中.AE与DB的大小关系是:AEDB(填.“或理由如下：如图13-2-23(b)所示

13、，过点E作EFBC,交AC于点F,(请你完成以下解答过程)(3)拓展结论，设计新题在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED=Ee.假设AABC的边长为1,AE=2,求CD的长(请你直接写出结果).27.(1)操作发现：如图13-2-24(a)所示，D是等边三角形ABC边BA上一动点(点D与点B不重合)，连接DC,以DC为边在BC上方作等边三角形DCF,连接AF.你能发现线段AF与BD之间的数量关系吗？并证明你发现的结论.(2)类比猜测：如图13-2-24(b)所示，当动点D运动至等边三角形ABC边BA的延长线上时，其他作法与(1)相同，猜测AF与BD在(1)中的结论是否仍然成立？(直接写出结论)(3)深入探究如图13-2-24(C)所示，当动点D在等边三角形ABC边BA上运动时(点D与点B不重合)连接DC,以DC为边在BC上方、下方分别作等边三角形DCF和等边三角形DCF,连接AF、BF，,探究AF、BF，与AB有何数量关系？并证明你探究的结论，如图13-2-24(d)所示，当动点D在等边三角形边BA的延长线上运动时，其他作法与图13-2-24(C)相同，中的结论是否成立？假设不成立，是否有新的结论？并证明你得出的结论.