多目标优化问题和算法的设计研究.docx

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1、多目标优化问题及其算法的研究摘要：多目标优化问题MOP由于目标函数有两个或两个以上，其解通常是一组Pareto最优解。传统的优化算法在处理多目标优化问题时不能满足工业实践应用的需要。随着计算机科学与生命信息科学的发展,智能优化算法在处理多目标优化问题时更加满足工程实践的需要。本文首先研究了典型多目标优化问题的数学描述，并且分析了多目标优化问题的Pareto最优解以及解的评价体系。简要介绍了传统优化算法中的加权法、约束法以及线性规划法。并且研究了智能优化算法中进化算法EA、粒子群算法PSO和蚁群优化算法ACO.关键词：多目标优化问题；传统优化算法；进化算法；粒子群算法；蚁群优化算法中图分类号：T

2、P391 文献标识码：AResearch of Multi-objective Optimization Problem andAlgorithmAbstract: The objective function of Multi-objective Optimization Problem is more than two, so thesolutions are made of a term called best Pareto result. Traditional Optimization Algorithm cannotmeet the need of advancing in the

3、 actual industry in the field of the Multi-objective OptimizationProblem. With the development in computer technology and life sciences, Intelligent OptimizationAlgorithm is used to solve the Multi-objective Optimization Problem in the industry. Firstly, thetypical mathematic form of the Multi-objec

4、tive Optimization Problem, and the best Pareto result ofMulti-objective Optimization Problem with its evaluate system were showed in this paper. Its takea brief reveal of Traditional Optimization Algorithm, such as weighting method, constraint andlinear programming. Intelligent Optimization Algorith

5、m,including Evolutionary Algorithm,Particle Swann Optimization and Ant Colony Optimization, is researched too.Key word: Multi-object i veOptimization Problem Traditional Optimization Algorithm-,Evolutionary Algorithm Particle Swann Optimization; Ant Colony Optimization.X引言所谓的目标优化问题一般地就是指通过一定的优化算法获得目

6、标函数的最优化解。当优化的目标函数为一个时称之为单目标优化Single-objective Optimization Problem, SOPo当优化的目标函数有两个或两个以上时称为多目标优化Multi-objective OptimizationProblem, MOPo不同于单目标优化的解为有限解，多目标优化的解通常是一组均衡解。显而易见，多目标优化问题比单目标优化问题更接近工程实践，同时更加复杂。很多工程实践中的优化问题最后都可以转化为多目标优化问题。因此，对多目标优化问题的深入研究对于实践应用更具价值。通常，多目标优化问题都是通过一定的算法实现求解的。对多目标优化问题的研究也更多地集中

7、于对各种算法的研究。目前多目标优化算法归结起来有传统优化算法和智能优化算法两大类。传统优化算法包括加权法、约束法和线性规划法等。智能优化算法包括进化算法（Evolutionary Algorithm,简称 EA、粒子群算法（Particle Swarm Optimization, PSO 人工免疫系统（Artificial Immune System, AIS 和蚁群优化算法（Ant Colony Optimization, ACO 等。传统优化算法实质上就是将多目标函数转化为单目标函数，通过采用单目标优化的方法达到对多目标函数的求解。这样得到的解往往与最优解相去甚远，远远满足不了工程实践的应

8、用要求。智能优化算法通过对自然现象的模拟，从而抽象出符合一定规律的数学模型。智能优化算法具有自组织、自适应等特征，为解决免杂的工程实践提供了重要的技术方法。2多目标优化问题多目标优化问题首先由法国经济学家VPareto在研究经济平衡时提出，并且引进和推广了 Pareto最优解。多目标优化问题中的每个目标称为子目标。由于各个子目标之间的相互影响和作用使得对多目标优化时不仅仅是满足每个子目标的最优化条件,而且要满足子目标间相互关系的约束条件。因为子目标间的关系也就是子目标约束条件往往是复杂的,有时甚至是相互矛盾的，所以多目标优化问题实质上是处理这种不确定的子目标约束条件。2.1多目标优化问题的数学

9、描述多目标优化问题的数学描述由决策变量、目标函数、约束条件组成。由于多目标优化问题的应用领域不同，其数学描述也不同，包括般多目标优化、动态多目标优化、确定多目标优化和不确定多目标优化等几种。一般多目标优化数学描述如下：Min y = (x) =(幻,f2 (x),.,(x)( = 1,2,，N)S. t.g(x) = g 3, g2(r)， 0Kx) = A1(x), % (x),(x) = 0其中:x为D维决策变量,y为目标函数,N为优化目标总数；，(幻为第n个子目标函数;g(x)为K项不等式约束条件,人(外为M项等式约束条件，约束条件构成了可行域；勺而和/ max为向量搜索的上下限。以上方

10、程表示的多目标最优化问题包括最小化问题(min和最大化问题(max以及确定多目标优化问题。动态多目标优化问题的数学描述在一般多目标优化问题的基础上增加了时间变量to其方程表示如下：min(& max)y = f(x9t) = fi (x,tf2力(%)( = 1,2,N)stg (x) = g (x), g2(K f)，g*( J) 0h(x,t) = hy (x, t)9h2(x,t)9.9hm(x,t) = 0x(0 = xl (。, / ，巧, (0Vmin(0 巧 .max )3 =1，二，D)不确定多目标优化问题的数学描述则在一般多目标优化问题的基础上增加了 q维不确定量a0其方程表

11、示如下：min(& max) y = (x,a) = fx (x, a f2 (x, a),., fn (x, a)(n = 1,2,.,TV)sg(%) = g(XM),g2(x,a.,gk(x,a) v,kh(x,a) = h(x,a),h2(x,a),.,h,tl(x,a)l = b；“ 3aa, =al ya = x1,x2,.,xrf,.,xod.min xi jma3 = 1,2,., D)其中：片表示的是不确定量a,的区间为小到d表示的是不等式约束的允许区间；片表示的是等式约束的允许区间。2.2多目标优化问题的Pareto最优解求解多目标优化问题的过程就是寻找Pareto最优解的

12、过程。所谓的Pareto最优解也被称为非劣最优解。Pareto最优解是在集合论的基础上提出的一种对多目标解的向量评估方式。因此，所谓的最优解只是一种评价解的优劣的标准。而所谓的优劣性就是指在目标函数的解集中对其中一个或多个子目标函数的进一步优化不会使其它子目标函数的解超出规定的范围，即在多目标优化中对某些子目标的优化不能影响到其它子目标的优化而容许的整个多目标的最优解。在Pareto最优解中引入了支配向量。支配向量的定义如下：对任意的d 1,D，满足x； 且存在4 U,21有点 X&，则向量X* =片,，芯,.,右支配向量 X =x1 ,X2,.,Xrf,.,Xp 0 当 f(x*)与 f(x

13、 )满足以下条件, 小力(x*)工(x)5 = l,2,N),4)v4,(幻(l%N),则称/(J)支配f(x )。f(x )的支配关系和的支配关系一致。若/是决策变量中的一点(适用于集合论时，将决策变量称为搜索空间，当且仅当在搜索空间的可行域内不存在使得力(x)力(丁)5 = 1,2,.,)成立时,称/(/)为非劣最优解。对于多目标优化问题了。),当且仅当在搜索空间中的任意,都有f)f(冗),则称FC)为全局最优解。由所有非优劣最优解组成的集合称为多目标优化的最优解集。所有的Pareto最优解集对应的目标函数值所形成的区域称为Pareto前端。可见,Pareto最优解只是给出了多目标优化问题的解的评价标准，并没有提供切实可行的解的过程，因此，从多目标优化问题提出到Pareto最优解的提出，都未能触及多目标优化问题的实质。多目标优化问题的解决需要提出各种不同的算法来达到最终的求解。目前的多目标优化问题研究就是集中在优化算法的研究以及与具体的工程实践的结合。为了对各种算法进行评价，我们又不得的引入优化算法的性能评价体系。