第三章 第13讲 二次函数综合题.docx

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1、第13讲二次函数综合题1.(2019烟台)如图1,抛物线y=af+2x+c与X轴交于4(4,0),8(1,0)两2点，过点8的直线y=4彳+分别与y轴及抛物线交于点C,D.(1)求直线和抛物线的表达式；(2)动点夕从点。出发，在X轴的负半轴上以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动，设运动时间为t秒，当为何值时，咖为直角三角形？请直接写出所有满足条件的Z的值；如图2,将直线如沿y轴向下平移4个单位后，与X轴J轴分别交于右，尸两点，在抛物线的对称轴上是否存在点，在直线如上是否存在点W,使犷+.JW的值最小？假设存在，求出其最小值及点，N的坐标；假设不存在，请说明理由.图1图216a8+c=0解：(1

2、)把/1(-4,0),6(1,0)代入y=ax2+2x+c,得1n1解得a+2+c=0r2a=3V8=OO.抛物线的解析式为y=+2%-.OO2;直线y=4x+w过点B,O29.将6(1,0)代入y=Ax+W,得A=-W,JO22J直线弦的解析式为y=-+-cU4.15129.23(2)t的值为d或或W-.963(3)存在.9103由题意知，直线砥的解析式为尸一.一方，抛物线的对称轴为直线入=-5.Oo乙在抛物线上取点的对称点，过点作M13于点/V,交抛物线的对称轴于点点,图2这袅N作NHIDa于点，此时,DM+MN=DN最小，此时、XEOFsXNHD.设点Ar的坐标为S,一一学，10.OEO

3、F53Hi1i5r,即2io-，4qi33解5=2那么N点坐标为（-2,-2）.3由（2,4）,M-2,-2）可求得直线的解析式为y=/+1乙k315当x=一时，/=一彳，乙X，材点坐标为（一5,一R，乙A此时,帆+/师的最小值为，,/+就=,42+62=2机.2.（2019衡阳）如图，直线y=-2x+4分别交X轴，y轴于点4,6,抛物线过儿8两点，点P是线段4?上一动点，过点尸作/Cx轴于点C,交抛物线于点假设抛物线的解析式为尸一2V+2x+4,设其顶点为M,其对称轴交也于点N.求点，N的坐标；是否存在点尸，使四边形助杨力为菱形？并说明理由；（2）当点尸的横坐标为1时，是否存在这样的抛物线，

4、使得以兄,为顶点的三角形与力龙相似？假设存在，求出满足条件的抛物线的解析式；假设不存在，请说明理由.解：（1）如解图1图11.QVy-2x+2x+4=2（-）2,1Q，顶点”的坐标为（，2）当X=；时，y=2X1+4=3,那么点/V的坐标为（；,3）；不存在.理由如下：93MN=-,乙乙设尸点的坐标为（加，-2勿+4）,那么（加，-2/+2勿+4）,依=2%?+2勿+4（2切+4）=2序+4加PD/MN,3当加=助V时，四边形舰叨为平行四边形，即一2序+4以=5,13解得处=$（舍去），在=5,乙乙此时尸点的坐标为4,1).VPN=y1-2+3-12=5,PNMN,平行四边形V物不为菱形，不存

5、在点P,使四边形勿为菱形.存在.如解图2,0B=4,04=2,那么49=?不？=2小,图2当x=1时，y=2x+4=2,那么夕(1,2),PB=yj2+2-42=5.设抛物线的解析式为尸=之/+公+4,把力(2,0)代入，得4a+2b+4=0,解得。=一2，一2,，抛物线的解析式为y=a2-2(a+1)x+4.当X=I时，y=a22(a+1)x+4=a2a2+4=2a,那么(1,2a),.*.PD=2a2=a.%：DC/OB,:DPB=OBA.PDPBQ5当/AOB=/BDP=90。时，历=尢，wBs加，即丁=，解得H=-2,dudA42y15此时抛物线的解析式为y=-2x+2x+4;PDPR

6、o、5当NAOB=DBP=90时，莅=历，哂S加0,即京,解得己=一彳，dAdu2/54N此时抛物线的解析式为y=-+3+4.乙5综上所述，满足条件的抛物线的解析式为y=-2V+2x+4或y=5+3+4.3.(2019怀化)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=a2+2x+c与X轴交于J(-1,0),5(3,0)两点，与y轴交于点C,点是该抛物线的顶点.(D求抛物线的解析式和直线4C的解析式；(2)请在y轴上找一点材，使物的周长最小，求出点物的坐标；(3)试探究：在抛物线上是否存在点使以点力，P,C为顶点，4。为直角边的三角形是直角三角形？假设存在，请求出符合条件的点夕的坐标；假设不存在，请说明

7、理由.备用图解：(1)设抛物线的解析式为y=a(x+1)(-3),即y-a-ta-tia,/.-2a=2,解得H=-1,，抛物线的解析式为y=-x+2x+t3.当X=O时，y=-V+2x+3=3,那么C(O,3).设直线4。的解析式为y=px+q,77+q=0把力(-1,0),C(O,3)代入，得C4=3P=3解得3直线的解析式为y=3x+3.(2) Vy=-+2+3=-1)2+4, 顶点的坐标为(1,4).作8点关于y轴的对称点夕，连接夕交y轴于点机如解图1,那么川(3,0).图1图2：.MB+MD=MB+MD=DB,此时加+切的值最小，而劭的值不变,，此时物的周长最小.由(1,4)(一3,

8、0)易得直线8的解析式为y=x+3.当x=0时，y=x+3=3, 点的坐标为(0,3).(3)存在.过点。作ZC的垂线交抛物线于另一点尸，如解图2. 直线的解析式为y=3x+3, 直线的解析式可设为y=-x+b.把C(O,3)代入,得。=3,r7x=3或那么此时尸点坐标为乙J厅不 直线/T的解析式为y=-1+3.Oy=-2r3,x=0联立V11解得y=-y+3Iy=3I3,97,过点A作4C的垂线交抛物线于另一点P,直线上的解析式可设为y=x+b,O把4(1,0)代入，得;+6=0,解得6=一；,OJ.直线C的解析式为y=J1510ry=-+2x+3联立111即，V.标为党净.790101Q综

9、上所述，符合条件的点尸的坐标为，舟或d,-).ooy4.(2019扬州)如图1,四边形加切是矩形，点/的坐标为(3,0),点C的坐标为(0,6),点尸从点。出发，沿处以每秒1个单位长度的速度向点/运动，同时点。从点月出发，沿4?以每秒2个单位长度的速度向点方运动，当点刀与点力重合时运动停止.设运动时间为t秒.图1图2(1)当方=2时，线段N的中点坐标为;(2)当4/0与4440相似时，求Z的值；(3)当C=I时，抛物线y=/+。经过，0两点，与y轴交于点材,抛物线的顶点为片，如图2所示.那么该抛物线上是否存在点，使乙阳9=N物即？假设存在，求出所有满足条件的点的坐标；假设不存在，请说明理由.解

10、：(1)(2，2).(2)Y当点P与点、A重合时运动停止，且此时以点PfA,0为顶点的图形不能构成三角形，0f3.T四边形如勿是矩形,：,NB=NPAQ=90.当网与必。相似时，存在两种情况：当为g陋时，务段,.3Z62%2t=3整理得4152+9=0,3解得。=3(舍去)2=解得x=-J=O13那么此时尸点坐当用gztw时，行厂历,AUDkJ.3)_3=6-21整理得Z291+9=0,解得呼. -=幻4不符合题意，舍去，./93季 一2-综上所述，当a%o与必O相似时的值是:或，一；下.当t=1时,P(1,0),?(3,2),把尸(1,0),0(3,)代入抛物线y=V+H+。中，3 .抛物线

11、的解析式为y=V3x+2=(x5)2z,31，顶点(5,-).Q(3,2),MO,2),X轴.当点在点物的上方时，作抛物线的对称轴，交制于点,如解图1,1KM=KQ,KE1MQ, /MKE=4QKE=/MKQ,/HQ!)=；/MKQ=/QKE.乙设。交y轴于点H,Y/HMQ=QEK=9G,WKEgAQMH,2+1.竺=幽_4=_3_历一质2：.MH=2,(0,4).2由(0,4),0(3,2),易得直线他的解析式为y=-+4O尸一淳+49联立V即V3x+2=x+4,y=V3x+22解得小=3(舍去)，X2=一W,O同理，当点在点物的下方时，y轴上存在点，如解图2,使4HQM=gMKQ.由对称性，得(0,0).2由0(0,0),0(3,2),易得直线。的解析式y=m,O2y=F2联立XI即*-3x+2=gx,y=*3x+22解得小=3（舍去），及=鼻，O94024综上所述，点的坐标为(一鼻