专题2 等式与不等式1原卷版公开课教案教学设计课件资料.docx

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1、专题2等式与不等式2. 1等式性质与不等式性质知识点一等式的基本性质1 .如果=。，那么b=a.2 .如果a=，b=c,那么a=c3 .如果a=，那么ac=Hc.4 .如果a=b,那么ac=hc.5 .如果a=Zbc0,那么知识点二不等式的性质性质别名性质内容注意1对称性ahbb,bc=dc不可逆3可加性ab=a+cb+c可逆4可乘性ab,cO=acbcab,cO0acb,cda+cb+d同向6同向同正可乘性abO,cdO=acbd同向7可乘方性ab0W财(N,”22)同正知识点三糖水不等式的性质定理：若aZ?0,n0,则一定有+？.,或者+a+rnab-mb通俗的理解就是，克的不饱和糖水里含

2、有8克糖，往糖水里面加入?克糖，则糖水更甜;、1ob+nbab+cun-ab-bin(a-b)mC证明：=$=0a+rnaa+ama+ama+maab+hm-ah-am(a-h)m八=bcd,则下列不等式恒成立的是（）A.a+db+cB.a+cb+dC.acbdD.adbe【例3】若abO,且必=1,则下列不等式成立的是（）IbA.+-1og2(6r+b)C.ct+1og2(+)b,则()A.1n(a-b)0B.3a3hB.D.b.z.I1og2(+b)+-1z,.1b1og2(t+Z?)+-0D.ab【例5】（2023上海）已知两两不相等的X,yi,x2,y2,X3,%，同时满足演vy，x2

3、y2,FVy3；N+X=r2+%=W+%；My+玉%=2后必，以下哪个选项恒成立（）A.2x2xi+x3C.xj00,贝ahB.若/?0,n0则+a+maD.若ab0,则历2C.ab0贝U-Z2人一从【例7】求证：22462-112ny2n+1【例8】已知正数4,b,满足av+c,求证:60,则f2B.若abO,则旌,C.若vbWD.若abO,则2“6,则!,则ac2bc2abC.若ab,cd贝!1+c6+4D.若ab,cd贝IJaCZ%3. （2023河南期中）若。是实数，P=2+10+a,0=2+6+2+4,则P,Q的大小关系是（）A.QPB.P=QC.PQD.由的取值确定4. （2023

4、天府新区期末）已知实数,b,C满足cvb,ac0,那么下列选项中一定成立的是（）D.c（b-）0B.cb1acD.b+D.a-c2-bc5.（2023辽宁二模）已知非零实数4,人满足。|加+1,则下列不等关系一定成立的是（）A.a2b2+B.2“2”川C.a24b6. （2023江苏模拟）若abOc,贝J（）.CCnb-CbCiCA.-B.-C.dbaba-ca（2023贵阳期末）下列说法正确的（）C.若abcO,贝IJabD.若abcO,则小bb+c8.已知,b,c,分别是一个三角形的三边长,-p.-r3abcC求证一+0,bX),%W等，当且仅当=b时，等号成立.其中守叫做正数小力的算术平

5、均数，%叫做正数小的几何平均数.2 .变形：abW弓与,a,bR,当且仅当=6时，等号成立.a+b22Ma,8都是正数，当且仅当=方时，等号成立.3 .用基本不等式号，而求最值应注意：(1)x,y是正数.如果孙等于定值尸，那么当x=y时，和x+y有最小值2”；如果x+y等于定值S,那么当X=)，时，积孙有最大值;52.(3)讨论等号成立的条件是否满足.4 .利用基本不等式求最大值或最小值时，应注意什么问题呢？利用基本不等式求最值时应注意：一正，二定，三相等.思考：x+；的最小值是2吗？只有当x0时，才有尸1322、=2,即x+5的最小值是2；当XVo时，x+%殳有最小值，此时x+：=-KT)+

6、()-2卜X)(T=一2即当KO时，x+1的最大值是一2.5 .基本不等式常用模型模型一：mx+-2-ynm(m0,0,x0),当且仅当=时等号成立.模型二：加项变换nx+-n-=m(x-a)+n+ma14tnn+ma(/m0,?0,x0),当且仅当x-=J时x-ax-aVm等号成立.思考：若函数/(x)=x+-1(x2)在x=处有最小值，则=.x-2模型三：同除转化为基本不等式=-F=(O,cO,O),当且仅当X=J士时等号成立.ax+bx+cr+b+22yac+bVax思考：若对任意x0,恒成立,则的取值范围是x2+3x+1模型四：凑和为常数型z、mx(n-mx)1,nx+n-mx.2/n

7、出口巾上na.xn-mx)=-OzO,Ox0,则y=x(-2x)=2r(1-2r)w(2x+1-2x)2当且仅当2r=12x,即1/25X=%寸，等号成立.模型五：等式转化为不等式模型若出现K4+b)+z力=C,其中a、b、八cR*因为+82ab=ab十,可以转化为2myab+nabc或4(a+b)2n(a+b)+nc,4从而求出+b及aZ?的取值范围.若出现求w+力取值范围，先将式子?(4+h)+ab=c因式分解成为(。+外(。+丁)=2形式，再用基本不等式求出也+最值.也可以考虑用柯西不等式解出答案，先进行因式分解(+x)S+y)=z,再用柯西不等式分析.思考：设0,b0,+b+=24,贝

8、IJ()A.a+0有最大值8B.+力有最小值8C.访有最大值8D.妨有最小值8【解析】A.+6有最大值8B.+b有最小值8C.b有最大值8D.b有：法一：+b+b=24n20+024=(Vab)2+2ab240,故选8.法二:+b+b=24=(+1)(b+1)=25=(q+1)(b+1)(V0b+1)2y/ab4(+1)(b+1)=25=(+1)+(b+1)2y(a+1)(b+1)=a+b+210=Q+b8例题精选【例9】(2023上海)若实数、满足a6,下列不等式中恒成立的是()A.a+b2abB.a+h2JbD.+2Z?ab22【例10(2023上上海)已知函数人为)=3x+詈7(0)的最

9、小值为5,则Q=【例11】(2023天津)己知0,bOJJ-+匕的最小值为a【例12已知Q0,b0,且Qb=1,则；+2+-J的最小值为vVriC上八【例13】（2023河西区期末）已知5%2y2+y4=iyeR）,则2+y2的最小值是【例14(2023新高考11)(多选)若y满足2+y2-y=1,则()A.xy1B.x+y-2C.x2+y22D.x2+y21【例15(2023-湖南期末)(多选)已知Q,b为正实数,且HS=32+b-4,则2+b的取值可以为()A.1B.4C.9D.32【例16设0,y0,x+2y=4,则空胆坦的最小值为【例17（2023辽宁期末）若实数,b满足4q2一块=4

10、,则5?+2q匕的最小值为【例18】（2023乙卷）下列函数中最小值为4的是O-4A.y=xz+2%+4B.y=sinx+jC.y=2x+22xD.y=Inx+S【例19】（2023浙江月考）（多选）设a0fb0,则下列说法正确的是OA.b+1+A.疯+应B.世而a+ha+bC.AyJctbD.（+b）（）.4Jabab试题精选9 .列不等式恒成立的是()D.c+b”-2(IbA.a2+Zj2,2abB.c+b2.-2abC.a+b.2yab10 .若一4x1,则y=主等有()ZX-ZA.最大值一1B.最小值一1C.最大值1D.最小值1I1下列关于实数0,b的不等式中,不恒成立的是0A.2+b

11、22abB.2+b2-2abPi12 .若实数Q,b满足工+J=质则Qb的最小值为()abA.2B.2C.22D.413 .设/(x)=r,0abP=q=八；.),r=(/(a)+f(b),则下列关系式中正确的是()A.=0I3B.=00D.=014 .(2018天津)已知Q,bR,且Q3b+6=0,则2。+会的最小值为15 .(2023巴彦淖尔期末)若Q0fbOtRab=3a+3b+27,则Qb的最小值为()A.9B.16C.49D.8116 .若,bERfab0,则叱誓的最小值为ab17 .（2019天津）设X0fy0tx+2y=5,则空警3的最小值为vy18 .(2023-河南开学)已知X0,y0,若4%+y=1JJ(4x+1)(y+1)的最大值为()913A.-B.-C.-D.144419 .(2023湖北模拟)已知实数,b满足Q+b=ab(a1fb1),则(。-I)2+3-1尸的最小值为()A.2B.1C.4D.520 .(2023-荔城区模拟)(多选)己知y(0,+8),设M=2x+