等比数列公开课.docx

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1、等比数列基础篇1 .等比数列询的判定（用）与证明（用）：【判定n为等比数列时，一般应有aHO,4*0的说明.】 皿二q（定义法）；嫌=n%+0（中项法）；an /t=pq+b（通项法）；Sn=A（I-qr1）（和式法）.2 .等比数列通项公式：（Dan=1qn-（2）an=amqn-m.从第m项开始成等比数列，须用此公式写nm时的通项公式；也适用于写隔项等比数列的通项公式，但要注意确定首项及序号的变化.3 .等比数列前项和公式：当q=1时，Sn=7i%;当qw1时，Sri=当沪=%音.【在公比q不明确的情况下，求和必须分q=1,q1两种情形！】【公式推导方法有三种：（秉公比）错位相减法；分数等

2、比定理；利用%+=a+qSn=Sn+qa71.I【S偶，S奇如何求？首项是由还是a?，公比是q2,还要注意项数是多少!）4 .等比数列%t的性质：【数列增减性与%,q的关系】若a,G9b成等比数列，则G叫做a,b的等比中项，显然G?=ab,G=而；若m+Tt=p+q（m,ntp,qN）则。即=%；若m,p,-成等差数列，则叫n,ap，仍成等比数列，即，若m+n=2p（m,n,pAT）,M1Jamn=p.（P=等）等比数列斯的连续m项的和构成的数列：Sm,s2m-Sm,53m-S2m,，仍为等比数列（公比为qn9等距分段的和仍为等比数列.但当q=-1时，m必须为奇数.【解题时可画线段示意图：线段

3、上标注各段和I】5 .利用等比数列通项公式和求和公式熟练解决“知三求二”问题：Qq,n,an,Sn.抓住基本量为,q是关键.在等差、等比数列求和项数比较少的情况下，不一定非要求和公式，可以考虑用各项相加的形式表示！6 .等比数列与指数函数的关系.练习1 .在等比数列ar中，S4=1，S8=3,则a13+a14+。15+16=2 .在正项等比数列an中,已知公比为2,且由。2。3。30=23,那么。3。6。9。30=3 .在等比数列at中，a+a2=20,a3+a4=40,则+。6=-4 .设等比数列arJ的前几项和为斗，若S3o=13Sio,+o=140,贝JS30=.5 .求数列1,12,1

4、+2+22,1+2+2z+23,的前n项和为Sn.6 .在数列a71中，的=2,J1an+1=3an-1,则数列a71的通项公式为“=.7 .在等比数列ar中，。9+QIO=Q（a。），19+a2o=则Q99+Qioo=.提高篇1 .等比数列n的性质：从等比数列中抽取若干项组成新数列，若序号成等差数列，则对应的项成等比数列.【等距抽项成等比！】设SJb是等比数列，贝Ucn(c0),媪，(n0),嫌,n,anan+1t(an+an+1tnM知等是等比数列；un当%，bz公比相同时，p%+qbzCpan+qbn0)是等比数列；而1ogc%1(c0,c1,%0)是等差数列.在等比数列中，当项数为2n

5、时，=q;当项数为2n-1时，F=q.等比数列%1的连续m项的积构成的数列：Tmi磬，仍为等比数列.(公比为(qrn)rn)m2m等距分段的积仍为等比数列.7=QQ2a3斯，需要时可借助等比数列性质化简！】2 .与等比数列有关的递推数列：(1)an+1=qan+dan+1+A=q(an+i4)=az+4是首项为%+4公比为q的等差数列【待定系数法】%+=q/+f(n)an+1+g(n1)=qang(n)1(n)=qg(ri)-g(n+1)恒等去确定g(n).当/(几)=an+b,an2+bn+ctapn,apn+d时，则g0)=4n+B,An2-VBn+CfApn,Apn+B.【待定系数法、拆

6、项化等比、除塞数化等比】(3)an+1=言=9=M+詈变成研究【取倒数】Q2an+d2a+QinQi%+=笠誓，设X=署，的两根为p，q，贝J泞(pq)为等比数列【减根相除化等比】42a+a242x+a2a-q(5n+2=Pan+1+qa, 册+2=P%1+1+q%=%+2+如1+1=”a+A%J(待定系数法求人)【拆项化等比】Oan+2=(1-q)an+1+qanan+2+qan+1=an+1+qan【化常数列】 设/=px+q的两根为a,则a+0=p,a=-q,所以册+2=pan+qan=an+2=(a+)an+1-aan=an+2-aan+1=(an+1-aan)【利用特征根】小专题等差

7、数列与等比数列（对比归纳）等差数列等比数列1定义an+1-an=d(常数)皿=q（非0常数）an2.一般形式1,Q+d,a1+2d,a1+3d,%,a1q,a1q2,a1q3,3.通项公式Qn=QI+(-1)d%=Q1qnT4.前几项和公式Sn=叫加,（均值型）Sn=Z1a1+71（；1）d（基本量型）q=1时，Sn=na1；q1时，Sn=p,或%=富5.等差（比）中项Q与b的等差中项是4=手与b的等比中项是G=ab（ab0）6.主要性质(1)若m+几=p+q(m,n,p,qEN*),则rn+Q=+;(2)m+n=2p(m,n,pN),则Qm+Qn=2p.s7n,s2m-sm,S3m-S2m,

8、，为等差数列.(公差为2d)若m+九=p+q(m,n,p,qN),贝IJQrnQn=apaq;(2)m+n=2p(m,n,pN*),贝MnIan=哈srn,s2m-sm,s3m-S2m,为等比数列.(公比为严)7.增减性d0时，71为递增数列；d0且q1或Q1Vo且0q0且OVqV1或c1时，n为递减数列；q=1时，z为常数列；Q0,C1)是等比数列.(1ogcn)(c0,c1,Qn0)是等差数列.说明1在等差数列或等比数列中，经常需要解鲁二P这种类型的方程组，（其中一个往往是通过等差数列或等比数列的性质转化得到的），如果能熟练地转化为解方程/-px+q=O,这样效率会更高！【在解等比数列两个

9、关于数列和的方程组中，两式相除是个常用手段!2 .掌握三个数与四个数成等差数列的设定.（2）掌握三个数与四个数（同号、不同号）成等比数列的设定.3 .等差数列与等比数列中关于S奇与S偶的结论不必记匕，解题中会根据求和公式或者用项相加表示和的方法，转化为方程；注意：用求和公式时，要特别注意首项是由还是公差是2d,公比是q2,还要注意项数是多少！.4 .零存整取（单利）储蓄本利和：若每期存入本金P元，每期利率为广贝期后本利和为Sn=P（I+nr）+p1+（n1）r+p（12r）+P（I+r）=pn+r.1 234567Ti至IJI11111II.PPPPPPPP期(等差数列模型)5 .分期付款(复

10、利)：贷款A元，n次还清，每期利率为r,分期付款每次还款工元.(等比数列模型)x(1+r)n1+x(1+r)n2+x(1+r)n3+x(1+r)2+x(1+r)1+x=4(1+r)n=4r(1+r)nX=.-rIgr)TJ_一二6_.JaA(1+r)n口迎分期去付款，到期算总账：我付银行息，银行付我息，利息率相同，都算本和息，借还两相等！【若想提前付完款，依然按照规矩算，计息时间相应变，借还本息两相等!】拓展思维设Sn=：+?+：+；+g25*4求证：当+8时，Sn+.1Z3DoH证明：当九+8时,Sn=；+：+/+；=1+/G+：+弓+s+卷+1213141516y1+-+-2+-4+-8+=1+-zn.248162显然当n+8时，m+,因此Sn+8.