等式性质不等式性质与基本不等式复习课公开课教案教学设计课件资料.docx
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1、等式性质、不等式性质与基本不等式复习课(教学设计)一、内容和内容解析1 .内容不等关系与不等式,两个实数大小关系的基本事实,等式性质与不等式的性质,基本不等式及其应用。2 .内容解析相等关系、不等关系是数学中最基本的数量关系,是构建方程、不等式的基础;等式的性质是研究方程问题的基础,不等式的性质是研究不等式问题的基础;关于实数大小关系的基本事实是研究等式的性质、不等式的性质的基础。两个实数大小关系的基本事实是由实数系的有序性所决定的,是研究等式性质和不等式性质的逻辑基础。根据基本事实,我们把两个实数的大小比较转化为判断它们的差的符号,这是解决代数问题的最基本方法,其中蕴含着代数学的一般观念,即
2、通过代数运算解决代数问题。等式性质可分为相等关系自身的特性和相等关系在“运算中的不变性”两类,前者包括等式的“自反性”和“传递性”,这是整个代数推理的逻辑基础所在,后者包括等式在四则运算中的不变性,其中最基本的是相等关系在加法、乘法运算中的不变性。不等式的基本性质与等式的基本性质具有“同构性”,蕴含着相同的数学思想方法,也包括不等关系自身的特性和不等关系在“运算中的不变性”两类。不等关系也有“自反性”和“传递性”,前者是不相等的两个实数大小关系的两种等价表达形式,后者反映了三个不相等实数的大小关系的内在联系,它们是由实数的有序性所决定的。不等关系在各种代数运算中具有不变性、规律性,由于“正数乘
3、正数大于0”“负数乘正数小于0”,所以不等式对于乘法运算不具有“保序性”,这也是不等式性质与等式的性质的主要差异。不等式的基本性质与等式的基本性质都是“式的性质”,具有相似性,所以可类比等式基本性质中蕴含的数学思想来研究不等式的基本性质。不等式的性质具有层次结构性:不等关系自身的特性一基本性质一常用性质。其中,不等关系自身的特性也是整个代数推理的逻辑基础,由此可以推出基本性质,进一步地又可以通过不同的运算、变式、推广或特殊化推出一些常用性质,常用性质在解决具体问题时往往更好用。实数大小关系的基本事实和不等式的性质都是解决不等式问题的基本依据。基本不等式是几何平均数不大于算术平均数的最基本和最简
4、单的情形,可以推广至n个正数的几何平均值不大于算术平均值.基本不等式的代数结构也是数学模型思想的一个范例,借助这个模型可以求最大值和最小值.同时,在理解和应用基本不等式的过程中涉及变与不变、变量与常量,以及数形结合、数学模型等思想方法。因此,基本不等式内容可以培养学生的逻辑推理、数学运算和数学建模素养.3 .教学重点实数大小关系的基本事实的理解和运用,梳理等式基本性质中蕴含的思想方法,探究不等式的基本性质,用基本不等式解决简单的最值问题。二、目标和目标解析4 .目标梳理等式的性质,理解不等式的概念,掌握不等式的性质,结合具体实例,用基本不等式解决简单的求最大值或最小值的问题,发展学生运算和数学
5、建模素养。5 .目标解析达成上述目标的标志是:(1)能发现实际问题情境中蕴含的不等关系,并用不等式表达。(2)能归纳出基本事实中蕴含的数学思想(通过运算解决代数问题),并能用于比较大小、证明不等式的基本性质,体会基本事实中蕴含的“作差法”是比较大小的基本方法。(3)能利用不等式的性质证明简单的不等式。(4)能结合具体实例,明确基本不等式的使用条件和注意事项,即“一正、二定、三相等”;能用基本不等式模型识别和解决实际问题,能用基本不等式求最大值或最小值;在解决具体问题的过程中,体会基本不等式的作用,提升数学运算、数学建模等核心素养。三、教学问题诊断分析1 .问题诊断不等式性质的探究是以实数大小关
6、系的基本事实为依据,以“运算中的不变性就是性质”为指导,通过类比等式的基本性质而展开的。学生在初中通过特殊到一般的方式学过等式、不等式的某些性质,但没有进行严格的证明,也没有挖掘性质中蕴含的数学思想。高中阶段要通过逻辑推理,构建等式、不等式性质的完整体系,学生在学习过程中会出现以下几方面的问题。(1)意识不到实数大小关系的基本事实的重要性。事实上,本单元内容是以公理化方式组织的,基本事实是逻辑起点,其中蕴含着“通过运算研究代数问题”的深刻思想。由于学生的认知水平所限,他们对此没有多少“感觉”,往往只停留在机械运用基本事实层面。教学中,教师要加强引导和讲解,让学生体会到基本事实所蕴含的数学思想,
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