第04讲 极值点偏移：减法型（解析版）.docx

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1、第04讲极值点偏移:减法型叁考答案与试题解析一.解答题(共12小题)1. (2023七星区校级月考)已知函数/(x)=Hnr-Ix2+(1)若/(x)在(0,”)上单调递减，求的取值范围；(2)若/(X)在X=I处的切线斜率是g,证明/(x)有两个极值点卬丁且3加2|例-31O).7(X)在(0,+00)递减，.r(x),0在(0,+)上恒成立，.a.!nx-在(0,+)上恒成立，X人z、1nx+1.、Inx令g)=，g(x)=XXT.xc(O,1)时，g,(x)Og(x)递增，x(1,+oo)时，g=22,f(x)=x1nx-x2+1,(x)=zr+1-x/(x)=1-1(xO),令/(幻0

2、,解得：x2,X2令r()2,故r(x)在(0,2)递增，r(x)在(2,)递减，又f,(2)=加20,/X-)=-0,f,(e2)=3-e20.e2e2故r(x)分别在d，2)和(2,/)有零点,2,(不妨设内苍),e.Ox时，,()0,/(x)递减,XIVjVO/(x)递增,时，ra)0,(-)0,-xi0,f,(e2)O,/.4x2e2,.-1Inx1-In1,21n2Inx22，:.3/2Inx2-InX11时，f(x)g(x)；(2)设尸(K)=f(x)-g(x)F,且0以x0,证明：3x0-x12.1r-1【解答】(1)解：4,h(x)=f(x)-g(x)=Inx-a(x-1),(

3、x)=1=，XX当x1时，,()1时，()1时，f(x)g(x)；(2)证明：尸(X)=f(x)-g(x)d=Mx-4(x-1)-，得尸(x)=!竺_,X令G(X)=1-ax2ex,+10o0,且G(-)=1-(zz-)2-=1-(/?-)2-)有唯一解，从而尸(x)=O在(O,-x)内有唯一解，不妨设为与，则10%2=0,所以f(X)在(0,%)内单调递增；XX当16(天，+00)时，F(K)=9也%2=0,所以Fa)在(%，+00)内单调递减,XX因此小是尸(X)的唯一极值点.由(1)11nxF(1)=O,所以尸(力在(X0,+oo)内有唯一零点.乂尸(X)在(0,小)内有唯一零点1,从而

4、F(X)在OyO)内恰有两个零点.从而1nx1=-er-j,即=空叫.天西一1因为当x1时，1nx工01,故-f受匚I1=片，X1T两边取对数，得1nexx0InX3于是X1-XOV2/叫)2.3. (2023黄州区校级模拟)已知函数/(x)=nx-(+1)x,/(x)的导数为.(1)当T时，讨论尸(X)的单调性；31(2)设方程f(x)=-一X有两个不同的零点为，x,(ix2+-.ee【解答】(1)解：/U)=/柩+1)-丝1,八幻口1=v+D.XXxx若一1v(),则当00,/(X)单,调递增；当x小时，*(x)0时，U)O,/(X)单调递增.故当一IvovO时，在(0,-N里)上/(X)

5、在(0,+)上单调递增：在(0-四,3)上单调递减.当口.0时，aa在(0,+)上r(x)单调递增.3(2)证明:令g(x)=(x)+x-一，则g(x)=/(X)+1.e由(1)知，在(0,物)上,g(x)单调递增.又g(1)=f,(1)+1=0,所以在(0,1)上，(x)O,g(x)单调递增.又g(一)=b(+1)+=Q(I)+(1)Og=10ee所以x-,Xy9+1.ee4. (2023道里区校级二模)已知函数/(x)=au-(m+1)nr,/)为函数/(幻的导数.(1)讨论函数/*)的单调性；(2)若当60时，函数/(x)与g(x)=-X的图象有两个交点A(X1，y)B(x2,y2)(x

6、1x2)求证:ex2+-xx+e.e【解答】解：(1),(x)=minx+nx-m+=mbx+m-n+,XXXHr/、tm+1设hx)=minx+m,x、tnn+inix+n+(x)=+=，xxx当机.o时，r(x)在(o,+)单调递增；当一1vm0,x0x、mm+八-a，.r(x)=+Z-0恒成乂,XX知函数F。）在（O,HX）上为增函数且广（1）=0,X(0,1)1(1,+oo)F(X)0+F(X)递减极小值递增3e-3F(1)=1-=0,F(e)=w(e-1)+0,知尸(X)在区间d，1)以及(1e)内各有一个零点，即为不(,1),X2W(1e)，ee知xve即WHVXI+e.ee5.

7、(2010鼓楼区校级模拟)定义域均为R的奇函数f(x)与偶函数g(x)满足/(x)+g(x)=1(T.(1)求函数f()与g(x)的解析式；(2)证明：g(X)+g(%2)2g(0；2);(3)试用/(),/(x2),g(%),g(x2)表示/(万一.)与g(%+x2)【解答】解：(1)V/(x)+(x)=10jr.J(r)+g()=1(r,/(x)为奇函数，g(x)为偶函数f(-)=-fMg()=g()-3)+g()=o-*由,解得F(X)=；(10*),g(x)=3(1。+).解法：ga)+g*2)=：(W+白)+；(+曲)ZJuZIU=-(i+ox2)+-().-.2ox,ioj22IO

8、1I(P2JaFfoi-/)1 z10t,10t=()2 10x：10t14.10x,t21、1-2IOZI0”14101010x+2410的io&0t+x2=-(i-)(iox2+)-(ioAi+)(ioVi)41010/4irIO2=f(xMx2)-SMf(X2)同理可得，g(x+A2)=g(10V|f)+；而3=SWg(X2)-f(x)f(X2)6.(2023光明区月考)已知函数)=ge2-x2一av,awR.(1)当=1时，求函数g(x)=(x)+f的单调区间；4(2)当Ov-iJ,时，函数/(X)有两个极值点,x22.【解答】(1)解：当=1时，f(x)=e2x-x2-x,g(x)=

9、f(x)-x1=e2x-X,g,(x)=e2x-I,令gO,可得x0,令gx)v,可得x0,所以g(x)的单调递增区间为(0,y),单调递减区间为(-,0).(2)证明：函数/(幻=；四2、-彳2一奴的定义域为R,yx)=ae2x-2x-af令MX)=r(x)=ae2x-2x-af因为函数/(x)有两个极值点N,x20,可得令(X)1n,2a2a4II1-1由OInO,4-I2a24因为人(O)=0,所以芭=0,所以要证9-K2,即证占2,只需证/1(2)0,4S0,e4-14所以(2)=ae4-4-a=a(e4-1)-4-一(e4-1)-42,得证.7.(2023日照模拟)设函数f(x)=e

10、*-；OrJ-X.(1)若函数在R上单调递增，求的值；(2)当时，证明：函数八幻有两个极值点,x2(x1x2)f且超-4随着。的增大而增大；证明：f(x2)0,则r(x)单调递增，又Jr(O)=0,则当XVO时，,(x)0时，,(x)=O.x=1na.可知，在(YO,而)上单调递减，在(加.+)上单调递增,fx,nin=f,(1na)=a-a1na-1ia0)，设g(a)=a-a1na-1(aO)g,(a)=Tna,g(a)在(0,1)上单调递增，在(1,+)上单调递减，所以r(zw)=g(a)(/)=0.若Ina=。,即=1时，,(x).,(0)=O,符合g意；若InaO,即“1时，f,(Itui)/时，naO,由(1)知，f,Mtnin=f,(1)O,当XW(0./4)时，f,(x)x,则当x1时，ex=eK-