第05讲 极值点偏移.docx

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1、第05讲极值点偏移:平方型叁考答案与试题解析一.解答题(共9小题)1. (2023广州一模)已知函数/W=Nnxor2+x(R).(1)证明:曲线y=(x)在点(1，U)处的切线/恒过定点；(2)若/(x)有两个零点R,K2，且及2日，证明:【解答】证明:(1)/(X)=XIn%tu2+x=1nx+124x+1=Inx2x+2,f()=2-2a,又可)=1-m，曲线y=(x)在点(1,y)处的切线方程为了一(1一4)=(224)(-1),即y=2(14)(-3)，当x=g时，y=0，故直线/过定点0)；(2)Vi,M是Ar)的两个零点，且X22xi,eJxi1nxi-v2x=0J得J1nXI+

2、1=x(x212-0x22o=,IInX2+1=依2.InAj+1InX2+1111(汨及)+2InX2-1I1V1X1X2X+mX2X令r=2),411n22=(,+x2)1na+1nzX2X1I+1)1/构造函数g(r)=1y=卢，g)=(,_)2,令力(f)=1：-21m,则力)=吗D0,则力在(2,+8)上单调递增，13而力(2)=2-21n2=-21n20,.gQ)O,则以。在(2,+8)上单调递增,Qg(f)g(2)=31n2,可得In(XIX2)+231n2,则Ina1X2)1n/，8Jf即XX2则啦蒜72. (2023浙江开学)已知aR,Hx)=XR其中e为自然对数的底数).(

3、I)求函数尸=x)的单调区间；(II)若0,函数y=j(x)-a有两个零点JGM，求证:xf+.02e解答解:(1)/V)=e-re=e”(1斓，VR,；aVO时，/()=ev(1-ar)O=x-,f(x)=eax(ax)VonXV.aV0时，增区间为:g,+),减区间为:(一8,1；a=O时，f(x)=eax(1ax)=10,Ja=O时，增区间为:(-8,+).a0时，f(x)=eax(1-ax)O=x,f(x)=eat(1-ax)x时,增区间为：(一8,%减区间为4J+0)；综上：4Vo时，增区间为:+8),减区间为：(一8,i).4=0时，增区间为：(-8,+8)；40时，增区间为：(一

4、8,5,减区间为：(5，+);(II)证法一:由知，a0时，增区间为:(一8,%减区间为:d，+);且X时，0,AX)=4)=%函数y=4r)的大致图像如卜图所示：不妨设X1VX2，则0*4-,即证:x2,121I2因为x1一，所以一一x2/(一x2)aaaua21又JM=J(X2)，所以即证：/12)/(一一工2)，工2一，aa21令函数F(K)=Kr)-/(*此，x(-,+8),2则/(X)=e(1-0v)+e-2+力一初=(1一0r)e-e-251,因为x5所以一OrVar2,I-OtV0,故尸(X)=(Ia)e-e-2+o,211函数P(X)=I/(x)-/(7-x)在(,+8)单调递

5、增，所以尸(幻尸(I)=0,1 22因为X2%所以，/(X2)/(一一X2),即再+为一，aaa所以*1r2)W2e.(II)证法二:因为0时，函数y=7(x)-有两个零点x,如则两个零点必为正实数，贝幻一=O=ehu-=ehw(0),问题等价于Iiu-Or=Inf1有两个正实数解；令g(x)=n-ax1na(xO)则g(x)=:-(xO),g(x)在(0，J单调递增，在(5，+8)单调递减，且OVx1V1VM，2 1令Ga)=g(x)-g(7一x),x(,+8),I22则G(X)+5a=；-2-2G)=O,1 21又故g()g(一一/3(-,+),aa2又g(x)=g(x2),所以g()g(

6、一一七)，a-又OVX1V1V*2，所以X,W(,一)caa又g(x)在(0,：)单调递增，所以百+占2,aa所以(*%)-2e.3. (2023秋泉州月考)已知函数於)=噜1.(1)讨论人X)的单调性；(2)若(e%)*=(Q2)*(e是自然对数的底数)，且莺0,M0,xx2.证明：4+必22.【解答】解：(1)函数HX)=I1i(x0),则/。)=一整，令/(x)=0,解得4=1,若a0,当OVXV1时，/(幻0,则/(x)单调递增；当x1时，/(x)V0,则兀O单调递减，所以儿6在(0,1)上单调递增，在(1,+8)上单调递减；若4V0,当OvXV1时，/(x)V0,则应()单调递减；当

7、x1时，/(x)0,则危)单调递增,所以火x)在(0,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增.综上所述，当0时，/(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+8)上单调递减；当a0,x2O,ix2.满足KrI)=/2);由(1)可知，当=1时，./(X)在(0,1)上单调递增，在(1,+8)上单调递减,不妨设XVX2,所以x(0,1),2(1+),若制任+8),则+%附242成立；若刈仁(1，2),则2一及(0,1)，记g(x)=JMf2-X)=半+：”占一POVXV1,111,zInjV1n(2-x)Inx1n(2-x)1n(-1)21J则8()=一?一百干一？一一=一?，所以g(x)在(0,

8、1)上单调递增，则g(x)Vg(D=O,即儿6中2外，所以_/(2X2)U)=V2)，因为x(O,I),所以2刖：1,又X21,/U)在(1，+8)上单调递减,所以2XiVX2，即X1+j2,又XI2+1N2xF1=2Xi,X2-rj，/、(广一1)(广+2/1)由于ei,故e(r)=21(+1)212*725=2X2*以上两式左右分别相加，可得xj+1+22+122(x+x2),即2+x222(x1x2)-22,综合可得，xt+x222.Inr4. (2023开封三模)已知函数/(X)=7.mx讨论.Wx)的单调性；(2)若加=2,对于任意xM0,证明:源：/(X1)展”2)(+於)即心一忌

9、【解答】解：(Df(X)=空的定义域为(0,+8),r(%)=匕芈，mxtnx当加0时，/(幻O=OVvW,此时共幻在(O,W)上单调递增，/(x)xe,此时AX)在(一,+8)上单调递减，当mV0时，/(x)O=此时./W在(+8)上单调递增，/(x)Ox0时，加)的增区间是(O,ye)f减区间是(啦，+);当nV0时，r)的增区间是(&,),减区间是(0,&).(2)证明:由机=2,f(x)=纸，(x12F(XI)-X；/(x2)(xi2+xJ)=(Inx1-Inx2)-(x12+焉)，2x22(内一年)92X十石由于AjM0,所以O.设/=1*故：(x；/(x1)/(x2)(xj2+%2

10、)2-AOg-Inx22(1)-Int(r1)1nt-0(/1),1+(土)21+r1+X2人12(f1).,.(21)(+2/1)0,令(t)=Int-，则,(t)=-茨K-1+r2t(r+1)2则夕二/加一生二2在(1，+8)上单调递增，+t故(O(i)=O,即:所证不等式(x；f(x1)-x1f(x2)(x12+4)X1X2一4成立.5. (2023浙江模拟)函数W=hu-r2+1.若=1,求函数y=(2-1)在x=1处的切线；(2)若函数y=4x)有两个零点即，必，且为VX2，(i)求实数4的取值范围；(ii)证明:x；-x-*-1.【解答】解：(1)设(x)=2-1)=1n(2-1)

11、-(2-1)2+1,*W=2x-J-4(2-1)*g(1)=-2,且g(1)=0,，切线方程:y=-2(-1).(2)(i)函数y(x)=1n-f+1,.,.f(x)=-2ax,若0,则f(x)=也-,.(x)在(0,步)上是增函数，(5，+8)上是减函数,壶)=Tn(2)+g0,工.(ii)证明:函数y=U)有两个零点;q,X2,且为V2,2由极值点可得M+x2-f=,.*.XX；+X,-j=X；+-1只需证E+%2不+，即证超/()，即证Of1)，即证InWT成立.6. (2023春渝中区校级期中)已知函数启)=一(-1).(I)讨论函数Kr)的单调性；设”1,g)=(x)+(x0),函数

12、g(x)的唯极小值点为的，点、Ag,g(x)和8(x2,gS)是曲线y=g(x)上不同两点，且g(X1)=g(X2),求证:ximV总【解答】(1次)的定义域为R，/U)=-,当W0时，/(x)0,所以NV)在R上单调递增：当0时，由/(x)=0,得X=In小当xW(8,go)时，/(x)V0;当x(1n,+8)时，/()o.所以7(x)在(一8,Ina)上单调递减，在(IM+8)上单调递增.综上所述，当0时，/W在(-8,Ina)上单调递减，在(Inm+8)上单调递增.(2)由题意g(xo)=O得4=e%-!，不妨设xVT2,由g(x)=g(x2),得e*-cx+H=ecx1+HX&即巴1f1=+J-X1-X2X1X21-ex211且=e一r,所以=-,XOX-X2XIX2Xo要证XX2X()2,即证Jx1X2工0,显然(x)=er-!在(0,+8)上是增函数，故只需证力(JxIX2)九(天)，即证e百ex