第06讲 极值点偏移：乘积型（解析版）.docx

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1、第06讲极值点偏移:乘积型参考答案与试题解析一.解答题(共17小题)1. (2023春汕头校级月考)已知，函数/(x)=nr-r,其中R.(1)讨论函数/*)的单调性；(2)若函数/(x)有两个零点，(i)求。的取值范围；(词设/(幻的两个零点分别为,x2,证明：x1x2e2.【解答】解：(1)函数的定义域为(0,内)，当心0时，r(x).O,/(X)在(0,”)单调递增；当O时，由r*)=0得x=1,a则当00,/(x)在(1+8)单调递减.aa(2)法1：函数f(x)有两个零点即方程府-=O在(0,+)有两个不同根,转化为函数y=加X与函数y=的图象在(0,切上有两个不同交点，如图：可见，

2、若令过原点且切于函数y=/，优图象的直线斜率为M只须OVaVZ,设切点A(Xo/r0)所以左=yIs。=乂左=色殳，所以J_=也，解得=e,陶工于是k=1所以OVa0，此时/(x)g=d)=,aa需加1-io解得oe,-aaa又/(1)=-1-e,则g()=10X故g(x)在(e,+)单调递减./(、)=gd)g(e)=2-ee21nx+Inx22,/U1)=0/(x2)=0,.*.Inx1-ax=0,Inx2-ax2=0,:.IHX1+Inx2=6r(x,x2)InXIInx2=a(x1-x2)t,-,、chj-Inx,2,X.2(x-X,).Inx1+Inx22=(x1+x2)2!-,x1

3、-x2x1+x2x2x1+x2设函数的)=/答)Xyx2r+1令五=,，则/1,于是/卢2(Nr)32z11求导得：(r)=-一=0,故函数g(f)是(1,+)上的增函数，2. .g(r)g(1)=0,即不等式的如二且成立，故所证不等式中2/成立.3. (2023攀枝花模拟)己知函数/(=加x+2-(eR,beR)有最小值”，且M.0.X(I)求，-匕+1的最大值；(II)当e-8+1取得最大值时，设7(b)=-n(mgR)尸(x)有两个零点为x1,x2(xie,【解答】解：(I)有题意)=1-4-=(0),Xxx当儿0时，,(x).O,F(X)在。K)上单增，此时显然不成立，当bO时，令/(

4、X)=O,得X=人，此时了(%)在(Og)上单减，在S,x)上单增，:.M=f(b)=1nb+-a.0,即/成.-1,所以A.e,e,-,0.所以-6+1的最大值为1.(H)证明：当eT-6+1取得最大值时，a-1=Inb,F(b)=-rn=-mbb7(x)的两个零点为，X2则如1一帆=0;以”一m=0，即加X1=巧，x,=mx2不等式MX23恒成立等价于InXT+2Inx2=mxy+2tnx2=n(xi+2x2)3,加上两式相减得/=n(xi-x2)=m=也，X2x1-X2加工_3(i-1)带入上式得(X1+2x,)e-3obMr)=_,%fx2内+2超出+2X2令五=f(ozi),则g()

5、=w-21iz12,(0v0,X2t+2/(r+2)2所以函数g(f)在(U)上单调递增，.g()-.【解答】解：(1)由题意可得，MX)=xex-a1nx-Or=Xe，一a1n(xex)=0有2个零点，令t(x)=xex,则t,(x)=(x+V)ex0x0时恒成立,故Fa)=XeX在(0,+oo)上单调递增，所以(x)有2个零点可转化为g(f)=/-有2个零点,因为g0,g(f)单调递增，不可能有2个零点，当10时，由g)O可得f1,g(f)单调递增；g)0,此时gQ)O恒成立，没有零点,若=c,则g(a)=0,有一个零点，若e,则g(a)因为g(1)=10,g(ea)ea-a20,所以g(

6、f)在(1,e),(e,e“)上各有1个零点,符合题意，综上，4的范围(e,+);2(2)证明：要证X1X,三，只要证X/即证1n(x1ex,)+1n(x2ex)2,由(1)可知，1=x1ex,t2=x2ex2,所以a(1nt2-Intx)=Z2Z1a1nt2+/4)=J+%(2-+1)w-所以Inti+Int2=+(Int2-Inti)=-,t2-t1k-1(+1)n-只要证工2,1设041一所以只要证册如二D即证加，+/-20,r+1r1令h(t)=Int42,Z1r+1则=1=(D：0,tQ+1)2r+D2.(r)(1)=0，即当r1时，)=/“+一一20,r+1所以Intx+Int22

7、即(xiex)(x2exi)e2,5. (2023武进区校级月考)已知函数/(1)=历x+g-.(1)若函数/(x)在X=I处的切线与X轴平行，求的值；(2)若存在fwT,1,使不等式/(口,a-3-1)加对于工1,e恒成立，求。的取值范围;(3)若方程Ax)=：/有两个不等的实数根不、X1,试证明王%/.【解答】(1)解：r*)=!x-a,.函数/(x)在X=I处的切线与X轴平行，/.f,(1)=2=O,解得=2.(2)解：x1,e,不等式f(x),a-(-1)nr化为：x-6r(1-)t,2X.,存在rwT,1,使不等式/(x,a-(-1)zIX对于x1,e恒成立,1工2.J-X-,-Xa

8、(y),1化为：a.=g(x)令人(x)=x+I-MX,z,()=-=-0,22X2x：.函数h(x)在1,e上单调递增,.gO.令h(x)=ax-1nxfh,(x)=a=XX可得：函数MX)在x1时单调递增，在0e2.只要证明：(+w)2即可.不妨设o%J,时单调递增,aaaa因此只要证明：n(-x1)-a(-M)O即可得出X,-xxaaa22设函数g(x)=/(Jr)-(x)-(1nx-ax),”、1-12(1)2SM=y+2=-v2XX(Or-2)Xa可得在(0,2)上g，(X)Vo,旦gd)=o.aa1 22.OXOaaa2 2即1n(x1)-ax1)O./.x1x2e2.V5.(20

9、23和平区校级模拟)已知函数/(x)=g+一的导函数为/，“).(I)判断/(X)的单调性；(II)若关于X的方程(x)=m有两个实数根,x2(x1x2),求证：x1x0),1_1令g(x)=x-加X，由g(x)=1=(x0),XX可得g(x)在(OJ)上单调递减，(1,+00)上单调递增，()=g()g(1)=10,.(X)在OM)上单调递增(4分)(II)依题意，卜一竽=,相减得百一%2=於，x2-Inx2=m1令生=W1),则有内=四_,X,=,x1/-1t-欲证芭2)：2成立,/-1(Z-I)2即证(R)32(J)3成立,r1即证股1),只需证2X亍)-3，0成立,x21令尸(X)=2

10、?(x7)一3mx1)x2即证X1时，Oo成立F,(x)=2(1+-=2(+3厂,XXXI令(x)=23(+2)-3/(X1),11贝IJ,(x)=2i(3x2)-6x=3x(27x-2)(X1),可得Cr)在(1,2)内递减，阳*+oo)内递增，2.A(x).(21)=0,.Fz(x).O,.F(x)在(1,+oo)上单调递增，F(x)F(1)=O成立，故原不等式成立.6. (2023春邵东市校级期中)己知函数/(x)=X-sinx+而X,W=f(x)+asnx.(1)求函数y=g(x)的极值;(2)若存在X,x2(0,oo)且当F*/时，/(x1)=/(x2),当OVaV1时，求证：yxx20),XX当机.O,/(x)0,g(x)在(0,+oo)上为增函数，无极值,当nv,Ox-tn,g(x)-rn,g(x)O,g(x)在(O,Tn)上为减函数，在(w,+)上为增函数，x=-m,g(x)有极小值Tn+而(-。，无极大值，综上知：当机.0,g(x)无极值，当mVO,g(x)有极小值-利+m1n(-m),无极大值.(2)证明：(x)=x-asinx.,(x)=1-cosx一掇!tosx1,.0所以，当OVaV1,?(X)=X-qsinx在(0,+oo)上为增函数，所以当XG(0,+)时，恒有(X)Zi(O)=0,即xsinx成立;当机.0,g(x)在(0,”)上为增函