知识梳理：三个二次间的关系（例题解答).docx

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1、三个“二次”间的关系一.知识梳理一.二次函数、一元二次方程与一元二次不等式的关系=b2-4ac0=0,=ar2xc30)的图象4/J1X1-2Xk一元二次方程以2+取+c=0(X)的根有两相异实根山，X2-2有两相等实根bM=X2=一五没有实根一元二次不等式解集r2+bx+cO(a0)xxX或QX2(X1VX2)x-A)2aRax1+bx+cO)XX1XX2)(X10,0),一根(A=0),无根(AV0).3 .关于不等式对应的方程根的大小的讨论：XX2,X=X2,X1A在区间D上恒成立，则等价于在区间D上八r)min4；假设不等式外)8在区间D上恒成立，则等价于在区间D上危)皿A成立，则等价

2、于在区间Dx)maA;假设在区间D上存在实数K使不等式HX)8成立，则等价于在区间D上yu)minA在区间D上恰成立，则等价于不等式,U)A的解集为D；假设不等式Ar)VB在区间D上恰成立，则等价于不等式,/U)v8的解集为D.四.二次方程?+力+c=omo)的根的分布分布情况两根都小于攵即xxk,x2k,x2k一个根小于左,一个大于上即X1V无VX2f(x)=ax2+bx+c(a0)大致图象yj/k4U4得出的结论0b,0-k2af(k)O/(%)0分布情况两根都在(加,)内两根有且仅有一根在(2,)内有两种情况，只画了一种一根在(W)内，另一根在(p,q)内，mnp0)1/K/1/大致图象

3、I得出的结论VO“吟O5)obmVVn!.a/(w)/()0/()Vo/(p)。二.典例剖析题型一一元二次不等式的解法例11.12013重庆高考关于X的不等式x2-20r-820)的解集为(内，x2),且及一=15,则4=()a57-1515A.2B.2C.Dg解：法一：不等式/一20r-820,，。=，应选A.解法二：由/-2Or8屋0,得(x+2)(-4)0,，不等式x22ar820的解集为(一2,40),又不等式x2-2-821,解析：当x0时，原不等式可化为1,解得x0,当x0时，原不等式可化为R解得x-1,I31,选A.【课堂练习1】(2012江苏)函数4T)=X2+伙,bR)的值域

4、为O,+),假设关于X的不等式r)c的解集为(如阳+6),则实数C的值为.解析(1)由题意知“)=/+0+=(工+32+匕一空.,.凡)的值域为0,+8),.,./?一5=0,即人=彳./(X)=(x+。.又,.fix)C.(工+。%即一?&0解：A=-16.当(-4,4)即A4或(),此时两根分别为M=卷,%=:显然芭/，不等式的解集为“x+2-1一+162 .解不等式X2一(n+)x10(a0)a解:原不等式可化为：(x-)(X-1)V0,令=工，可得：a=aa，当。一1或0a1时，a,故原不等式的解集为x4x当。=1或。=-1时，=1,可得其解集为。；当一1av或时，解集为aa11x-x

5、oa3 .解关于大的不等式or2(2a+1)x+2V0.解不等式OX2(24+1)x+2V0,即(一1)(-2)V0.当0时，不等式可以化为G加一2)V0.假设OVaV/则2,此时不等式的解集为(2,)；假设。=今则不等式为(x-2)2V0,不等式的解集为0；假设心今则*2,此时不等式的解集为&2).(2)当=0时，不等式即一+2V0,此时不等式的解集为(2,+oo).(3)当V0时，不等式可以化为(.10。-2)0.由于：V2,故不等式的解集为(一孙U(2,+).综上所述，当VO时，不等式的解集为(一8,加(2,+oo);当。=0时，不等式的解集为(2,oo);当OVaV料不等式的解集为(2

6、,%当时，不等式的解集为0;当QT时，不等式的解集为&2).【课堂练习2】常数R,解关于X的不等式-2x+0时，/=44次当/0,即01时，x0.(3)当0,即一IqVo时，不等式的解集为.小I+RF或Q1弓二了.(2)J=0,即a=-1时，不等式化为(x+1)20,.解为xR且x-1./0,即v一1时，xR.综上所述，当4多时，原不等式的解集为0；当040;当一1a0时，解集为小J+弓“或.;当。=一1时，解集为xkR且#一1;当。0,函数在区间-1,1上只有一个零点，此时，U1A或V1解得f-If1=a-5a-10,-3+小1a5或=-.ZV0,J=8a2+240,或-IV-/VI,10,

7、/=8屋+24。+40,函数在区间1i,i上有两个零点，此时-0成立，则02令/=20.则(。1)+G1=0有且只有一个正根6分设g(r)=3-1)/+m-1,注意至IJg(0)=-10,所以当=1时，有f=1,合题意；当0a1时，g(f)图象开口向下,且(0)=-10,则需满足1时,又g(0)=-1,方程恒有一个正根与一个负根.综上可知,a的取值范围是-2+2jU1,+8),10分题型四二次函数中的恒成立问题【例4】函数/(X)=V一如+,使F(X)0对任意的xTJ恒成立的的取值范围。解法1:(利用根的分布)数形结合结合f(x)的草图可得：=a2-40f=a2-40=a2-40Jc-1或得：

8、一2a0f(1)02解法2：转化为最值研究f(X)=(X3)2+1一二2421 .-1-1W-2a0W-2a2,所以一2vav20242 .假设I-IBPa0得a-2,与a2时,则f(x)mm=f=2-a0得a2矛盾。综上：a的取值范围是(一2,2)。解法3：别离参数1. x=0时，不等式显然成立，即此时a可为任意实数；2. x(-1,0)时，X2-ax+1Oax+-o因为g(x)=x+在I-1o)上单调递减，所以XXag(x)max=g(T)=-2；3. x(0,1时，x2-ax+1Oax+-o因为g(x)=x+,在0,1上单调递减，所以XXag(x)min=g(1)=2o综上：a的范围是：(一2,2)。【课堂练习4】1.当冗(1,2)时，不等式/+尔+40恒成立.则加的取值范围是.2 .fix)=X1-2v2(tzR),当a1,+s)时，7(x)。恒成立，则a的取值范围是.解析：解法一：段)=。一。)2+2一屋，此二次函数图象的对称轴为犬=4当。(