相似三角形的性质及判定知识点总结经典题型总结.docx
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1、国加住中考要求板块考试要求A级要求B级要求C级要求相似三角形了解相似三角形掌握相似三角形的概念,判定及性质,以及掌握相关的模型会运用相似三角形相关的知识解决有关问题且M住知识点睛一、相似的有关概念1 .相似形具有一样形状的图形叫做相似形.相似形仅是形状一样,大小不一定一样.相似图形之间的互相变换称为相似变换.2 .相似图形的特性两个相似图形的对应边成比例,对应角相等.3 .相似比两个相似图形的对应角相等,对应边成比例.二、相似三角形的概念1 .相似三角形的定义对应角相等,对应边成比例的三角形叫做相似三角形.如图,ZXABC与aABC相似,记作aABCABC,符号S读作“相似于.2 .相似比“全
2、等三相似三角形对应边的比叫做相似比全等三角形的相似比是角形一定是“相似形,“相似形不一定是“全等形.三、相似三角形的性质1.相似三角形的对应角相等如图,ABC与AABC相似,那么有AA,BB.CC.2.相似三角形的对应边成比例.,rt.1r7,ABBCACABC与ABC相似,那Z有a1ABBCACBCk(k为相似比).3.相似三角形的对应边上的中线,高线和对应角的平分线成比例,似比.如图1,ABC与ABC相似,BC边上的中线,那么有jABAM是AABC中BC边上的中线,AM-BC-AC-:k-AMIk为相似比)BCACAMA都等于相是aABC中a,图1是ABC中如图2,ABC-ABC相似,BC
3、边上的高线,那么有四ABAH是ABC中BC边上的高线,AH史丝k”:(k为相似比).BCACAH如图3,ABC-ABC相似,bzK.zK图2AD是AABC中BAC的角平分线,ADABCA中BAC的角平分线,那么有ABBCA(-B-O4.相似三角形周长的比等于相似比.如图4,4ABC与aABC相似,那么有ABAB-比例的等比性质有abbcacabBC:kAU5为相似比.Aa,4z图3BCACk(k为相似比).应用CjTf1rCj-ACk.5.相似三角形面积的比等于相似比的平方.A八图4如图5,ABC与ABC相似,BC边上的高线,那么有ABPBSABC;bcahBCAHC1abcBCAHBCAH2
4、AH是ABC中BC边上的高线,AH是AABC中BCACkAH(k为相似比),进而可得BCACz八H2AAZ四、相似三角形的判定1 .平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似.2 .如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似.可简单说成:两角对应相等,两个三角形相似.3 .如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例,并且夹角相等,那么这两个三角形相似.4 .如果一个三角形的三条边与另一个三角形的你对应成比例,那么这两个三角形相似.可简单地说成:三边对应成比例,两个三角形相似.5 .如果一个直角三角形的斜边和一条直
5、角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似.6 .直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形相似(常用但要证明)7 .如果一个等腰三角形和另一个等腰三角形的顶角相等或一对底角相等,那么这两个等腰三角形相似;如果它们的腰和底对应成比例,那么这两个等腰三角形也相似.五、相似证明中的比例式或等积式、比例中项式、倒数式、复合式证明比例式或等积式的主要方法有“三点定形法.1 .横向定型法欲证吧,横向观察,比例式中的分子的两条线段是AB和BC,三个字BEBF母A,B.C恰为aABC的顶点;分母的两条线段是BE和BF,三个字母b,E,F恰为ABEF的三个顶点.因此只需证AA
6、BCEBF.2 .纵向定型法欲证理上;,纵向观察,比例式左边的比AB和BC中的三个字母A,B,C恰BCEF为AABC的顶点;右边的比两条线段是DE和EF中的三个字母D,E,F恰为DEF的三个顶点.因此只需证ABCsDEF.3 .中间比法由于运用三点定形法时常会碰到三点共线或四点中没有一样点的情况,此时可考虑运用等线,等比或等积进展变换后,再考虑运用三点定形法寻找相似三角形.这种方法就是等量代换法.在证明比例式时,常用到中间比.比例中项式的证明,通常涉及到与公共边有关的相似问题。这类问题的典型模型是射影定理模型,模型的特征和结论要熟练掌握和透彻理解.倒数式的证明,往往需要先进展变形,将等式的一边
7、化为1,另一边化为几个比值和的形式,然后比照值进展等量代换,进而证明之.复合式的证明比拟复杂.通常需要进展等线代换(对线段进展等量代换),等比代换,等积代换,将复合式转化为根本的比例式或等积式,然后进展证明.六、相似证明中常见辅助线的作法在相似的证明中,常见的辅助线的作法是做平行线构造成比例线段或相似三角形,同时再结合等量代换得到要证明的结论.常见的等量代换包括等线代换、等比代换、等积代换等.如图:AD平分BAC交BC于D,求证:B1建,DCAC证法一:过C作CEAD,交BA的延长线于E.1 E,23.*.*12,.*.3E./.ACAE.AcC1BDBABAADCE,DCBEAC点评:做平行
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