用信息技术探究点的轨迹：椭圆、双曲线、抛物线.docx

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1、用信息技术探究点的轨迹：椭圆、双曲线,抛物线目录1 .前言12 .椭圆轨迹形成的若干方法22. 1.定义法23. 2.压缩法24. 3.参数方程法35. 4.代数法33.双曲线的几种经典获得方法33. 1.方法一：第一定义法33. 2.方法二：第二定义法56. 3.方法三：第三定义法74.求抛物线轨迹方程的几种常用方法74. 1.普通法74. 2.定义法84. 3.坐标代换法87. 4.参数法81 .前言这是堂典型的探究课，欧老师通过巧妙处理教材资源，借助GeoGebra软件，非常轻松、顺利地引导学生探究出了椭圆的第二定义，理解了平面截圆锥得椭圆的所以然，整节课展现出了欧老师良好的数学专业功底

2、和师范技能，是一节非常成功的课例。具体来说，有以下几个突出优点：1从大单元主题角度精选教学内容，整合教材资源，体现整体高度教材采用的定义椭圆的方法，能快捷地过渡到通过曲线的方程来研究曲线，但这种方法无法将抛物线的定义联系起来。为了沟通起这种联系，欧老师通过引导学生从教材例6的再观察出发，到椭圆标准方程的推导过程的新角度审视，很顺畅地得出了圆锥曲线的统一定义，为让学生能从整体的高度把握圆锥曲线做好了铺垫。2,充分利用软件技术，提升学生的信息素养新课标强调，数学教学要与信息技术相融合。而本节课，通过每三名学生共用一台电脑来探究问题，不仅深刻感悟了GGB软件强大的计算、动态追踪与绘制图象功能，而且通

3、过平面截圆锥视频的辅助展示来证明为何是椭圆的环节，学生更是感受到了GGB强大的三维可视化功能，这都极大地提升了学生后续使用信息技术来探究数学的热情与兴趣。3.精设问题串，帮助学生搭建思维的台阶，铺设思维的通道在探究椭圆第二定义的过程中，欧老师设置了“问题串”，5个小问题，层层递进、环环相扣，让学生经历了大胆展开猜想，实验验证猜想，理论论证猜想，获得椭圆、双曲线、抛物线第二定义，体会两定义之间的辩证统一关系的完整探究过程，成功帮助学生搭建了自然的思维台阶，铺设了顺畅的思维通道。2 .椭圆轨迹形成的若干方法2. 1.定义法1 .作图步骤：(1)在X轴上任取一点F1,并作关于y轴的对称点F2；(2)

4、以F1为圆心作圆，在圆上任取一点P,连结PF2,并作线段PF2的垂直平分线交直线PF1于点M；(3)选中点P和点M,作轨迹。2 .操作说明：拖动点P可观察轨迹形成过程，拖动点F1或F2可改变曲线的类型(由椭圆变成双曲线)。3 .典型例题：在C：(x+1)2+y2=25内有一点A(1,O),Q为圆周上任一点，AQ的垂直平分线与QC连线的交点为M,求点M的轨迹方程。4,使用说明：将点F1移到(-1,0)点，那么F2即为A,可将标签进行修改，再拖动圆上控制点将圆F1的半径调为5即可。2. 2.压缩法1 .作图步骤：(I)以原点为圆心画圆0；(2)在圆。上任取以点P,过P作X轴的垂线；垂足为Q,在线段

5、PQ上按需要的比例取点M；(3)选定点P和点M,作轨迹。2,操作说明：运动点P可演示轨迹椭圆形成的过程，拖动点M可改变椭圆的形状。3.典型例题：已知一个圆的圆心为坐标原点，半径为2,从这个圆上任意一点P向X轴作垂线段PQ,垂足为Q,当点P在圆上运动时，求线段PQ的中点M的轨迹是什么？变式：若点M为线段PQ上其他任意位置呢？4,使用说明：将点M移到相应比例的位置即可。2.3.参数方程法1 .作图步骤：(1)以原点为圆心画两个半径不同的圆；(2)在大圆O上任取点P,过P作X轴的垂线，垂足为Q,连接OP交小圆。为点R,过R作线段PQ的垂线，垂足为M；(3)选定点P和点M,作轨迹。OR)的旋转角，不是

6、OM的旋转角。4.使用说明：可直观地类比圆的参数方程与椭圆参数方程中参数的不同意义。2. 4.代数法2 .操作说明：拖动点P可观察轨迹生成过程；拖动点C控制定值m,反映不同的轨迹。已知定点A,B,满足KMAKMB=m,求点M的轨迹。3 .典型例题：设点A、B的坐标分别是(-5,0),(5,0),直线AM、BM相交于点M,且它们的斜率之积为，求点M的轨迹方程，并判断轨迹形状？3.双曲线的几种经典获得方法3. 1.方法一：第一定义法.双曲线为到两个定点距离之差(小于定点之间距离)等于定值的点的集合.其中定点之间的距离为焦距，两个定点为焦点.双曲线的第一定义需要注意:（1）PFI与PF2的差的绝对值

7、2a必须小于焦距2c.若2a=2c,则P的轨迹退化为两条射线.若2av2c,则平面上不存在这样的点.（2）若P在双曲线右支上，则PFI-PF2=2a,若P在双曲线左支上，则PF1-PF2=-2a.3.2.方法二：第二定义法.双曲线为到定点距离与到定直线距离之比为定值（大于1）的点的集合.其中定点为焦点，定直线为准线,双曲线有两对焦点和准线.（注意，焦点和准线是成对的！）例2中定义双曲线的方式为双曲线的第二定义也即双曲线可以看成到定点的距离与到定直线之比为大于1的常数的点的集合,对双曲线的第二定义，我们需要注意以下几点.(1)定点F必须在定直线之外，如果定点F在定直线之上，则动点P的轨迹退化为与

8、定直线斜交的两条直线.(2)比值必须大于1.如果等于1,轨迹为抛物线；如果小于1,轨迹为椭圆.该比值就是圆锥曲线的离心率.(3)定点F即为双曲线一个焦点，定直线为双曲线的准线.(4)根据对称性，双曲线的焦点和准线是成对出现的，右焦点对应右准线x=a2c,左焦点对应左准线x=-a2c.(5)双曲线上任意一点到到右焦点的距离与到右准线的距离之比为离心率，同样，双曲线上任意一点到左焦点的距离与到左准线的距离之比也为离心率.3. 3.方法三：第三定义法.双曲线为到两个定点斜率乘积等于定值(大于0)的点的集合.如下面视频所示，这两个定点可以是双曲线的两个实轴顶点，也可以是关于双曲线中心对4.求抛物线轨迹

9、方程的几种常用方法4. 1.普通法例1.求与两定点距离的比为1:2的点的轨迹方程。分析：设动点为P，由题意，则依照点P在运动中所遵循的条件，可列出等量关系式。解：设是所求轨迹上一点，依题意得由两点间距离公式得：M+J_2&-3)2+35化简得：4. 2.定义法例2.点M到点F(4,0)的距离比它到直线的距离小1,求点M的轨迹方程。分析：点M到点F(4,0)的距离比它到直线的距离小1,意味着点M到点F(4,0)的距离与它到直线的距离相等。由抛物线标准方程可写出点M的轨迹方程。解：依题意，点M到点F(4,0)的距离与它到直线的距离相等。则点M的轨迹是以F(4,0)为焦点、为准线的抛物线。故所求轨迹方程为。5. 3.坐标代换法例3.抛物线的通径(过焦点且垂直于对称轴的弦)与抛物线交于A、B两点，动点C在抛物线上，求AABC重心P的轨迹方程。分析：抛物线的焦点为。设aABC重心P的坐标为，点C的坐标为。解：因点是重心，则由分点坐标公式得：即由点在抛物线上，得：将代入并化简，得：4. 4.参数法例4.当参数m随意变化时，求抛物线的顶点的轨迹方程。分析：把所求轨迹上的动点坐标X,y分别用已有的参数m来表示，然后消去参数m,便可得到动点的轨迹方程。解：抛物线方程可化为它的顶点坐标为消去参数m得：故所求动点的轨迹方程为。