已知8x^2y^2+23y^4=6,求x^2+19y^2的最小值.docx

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1、已知8x2y2+23y4=6,求乂?+19/的最小值。主要内容：介绍用二次方程判别式法、不等式公式法、三角换元法和多元函数极值法等方法，介绍2+19y2在已知8x2y2+23y4=6条件下的最小值主要思路和步骤。方法一：判别式法将题目结论通过条件变形得到能使用二次方程判别式形式,进而求解所求代数式的最小值。设2+19y2=t,则X2=t79y2,代入已知条件得：8,(t-19y2)y2+23y,=6,化简得至U:129y4-8ty26=0,看成的二次方程，由判别式得：(8t)2-4612920,8t26-129,129,则本题所求的最小值为盗Z。方法二：基本不等式法通过变形利用两个正数的基本不

2、等式求解最小值。此时用到的基本不等式为：对于正数a,b,有a+b22.V8x2y2+23y4=6,(8x2+23y2)y6,即8x2+23y2=,进一步得:X24(4-23y2),代入所求代数式得：y2+19y24(-23y2)+19y2,y11瓦7+129y%再利用基本不等式，得：6129=86,即等号值为所求最小值。方法三：均值不等式法通过变形利用两个正数的均值不等式求解最小值。此时用a+b到的基本不等式为：对于正数a,b,有abW()2实质上是基本不等式的逆应用。V8x2y2+23y4=6,(8x2+23y2)y2=6,对括号内x?的系数进一步变形得:231298,(x2+-yy2)y2

3、=6,两边同时乘以得：-232、1292129G8,(x+万7)彳-y=6-,即：OOO231293129,232129+Ty+Vc2y2),xy24,崇,利用均值不等式得：O0-0,21二(乎2,223129X(2yy2)y2(-即：-（*臀）2,变形不等式得：3129（x219y2）24-,则：4Ox2+19y22=86,即等号值为所求最小值。方法四：三角换元法利用正弦、余弦换元X,y,根据三角函数的有界性及不等式公式等求代数式的最小值。设8x2y2=6sin2t则V2=G”2由8x,cost24138SinX8cost,x2+19y2138sin2t8costA11381-cos2t8c

4、ost138z11=1-.(+-8cost:,23y4-6cos2t,且t（0,万。st,代入正弦函数条件中得：=6sin2t,即：将X,y代入到所求的代数式得：19.嗝cost+19.也cost29cost）,再利用基本不等式得:2/_1.129.cost/8PCoSt23t,半J138詈取等号值为所求最小值。方法五：导数法设所求最小值为to,则x2+19y2=to,可求出函数y对X的导数,此时的导数并与已知条件中y对X的导数相等，即可求得最小值。由x2+19y2=t0,两边对X求导得:dyCdyX2x+38y-=0,即：=-;dxdx19y对已知条件方程两边同时求X导数得:dy此时管=_d

5、x8xy23dy去，麻后两处导数相等得:46y3+8x2yX而，化简该方程得:2532/、XTy(1);将方程（1）代入已知条件得:538y2y223y4=6,即y4=,进一步得y2-由（1）（2）代入所有代数式，得:x219y2的最小值方法六：多元函数极值法设F(x,y)=x2+19y2-(82y2+23y,-6),分别求F对x,y,的偏导数。F2F23-=2-16入xy;-;=38y-16yx-92入y；XyF224C、=8xy+23y-6.aK人AFdFHF八n1令F=F-二Q-=0，贝U:aXayaKX=8入xy2;19y=入(8yx2-46y3);V8xv2k=Ak3：Q2，后续步骤同方法五的部分步骤,即可得所求代19y46y+8xy数式的最小值为