已知z=f(4xy,11x2+4y2,7x)求z对x,y的所有二阶偏导数.docx

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1、已知z=f(4xy,11x2+4y2,7x),且Z对x,y的所有二阶偏导数主要内容：本文通过全微分、链式求导法等方法，介绍计算抽象函数Z=f(4xy,11x2+4y；7x)的所有二阶偏导数的具体步骤。一阶偏导数计算：z=f(4xy,11x2+4y2,7x),用全微分求导法,则有:dz=4f(ydx+xdy)f2(22xdx+8ydy)+7f3dx,即：dz=4yf1dx+4xf1,dy+22xf2dx+8yf2dy+7f3dx,dz=(4yf1,+22xf2,+7f3)dx+(4xf1,+8yf2,)dyo则Z对X的一阶偏导数为：z,=4yf122xf27f3;OX同理，Z对y的一阶偏导数为：

2、zT-=4xf,+8yf2,oSy二阶偏导数求解：因为二二4yfJ+22xf2+7f3,再次对X求导，OXS2Z所以获4y(f11,*4y+f12,*22x+7f13)+22f2,+22x(f211,4y+f22,*22x+7f23)+7(f3i4y+f32*22x7f33r),=16y2f1,+176xyfi2,+28yf13,+22f2,+484x2f22,1+154xf23+28yf31,+154xf32,+49f33,因为或二4fJ+8yf2,再次对y求导，OyS2Z所以后=4x(f11*4x+f121*22y+f13,*0)8f2+8y(f2,*4x+f22*22y+f23,*0)=16x2f1,+88xyf12,+8f2,32xyf12,+176y2f22,1,=16x2f11,+120xyf2,+8f2,+176y2f22.因为二二4XfI+8yf2,再次对X求导，52z所以一=4f1,+4x(f11,*4y+f2,*22x+7f13,)+8y(f21,*4y+f22*22x+7f23,1)4f1,+16xyf,+88x2f2,+28xf3,+32y2f12,176xyf22,+Sdyf23,=4f1,+16xyf1,+8(11x2+4y2)fi2+28XfJ+176xyf22+56yf23,10