小学六年级奥数第8课《应用同余解题》试题附答案.docx
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1、小学六年级上册数学奥数知识点讲解第8课应用同余解题试题附答案第八讲应用同余解题在五年级我们已初步学习了同余的有关知识.同余在解答竞赛题中有着广泛的应用.在这一讲中,我们将深入理解同余的概念和性质,悟出它的一些运用技巧和方法.例1赊以5余1,嘛以5余4,如果3ab,那么3a-bt以5余几?例2若a为自然数,证明10I(小湖a例9).例3计算机录入员平均每分钟可以输入72个汉字,输入一篇有砺7个汉字的文章所用的分钟数恰好是整数,求五位数语.例4n=191919191919,求n被9除后所得商的个位数是几?1919个1919例5设2n+1是质数,证明:1,*/被2n+1除所得的余数各不相同.例6己知
2、:a=19191919-1919,1919个1919问:赊以13所得余数是几?例7求被3除余2,被5除余3,被7除余5的最小三位数.例8给出12个彼此不同的两位数,证明:由它们中一定可以选出两个数,它们的差是两个相同数字组成的两位数.例9试证不小于5的质数的平方与1的差必能被24整除.证明:二质数中仅有一个偶数2,例10任给七个不同的整数,证明其中必有两个数,其和或差是10的倍数.答案第八讲应用同余解题在五年级我们已初步学习了同余的有关知识.同余在解答竞赛题中有着广泛的应用.在这一讲中,我们将深入理解同余的概念和性质,悟出它的一些运用技巧和方法.例IaB以5余1,除以5余4,如果3ab,那么3
3、a-嘛以5余几?分析与余数有关的问题考虑用同余式可以使解题简便.解:a1(mod5),3a3(mod5),或者3a8(mod5).(1)又Yb4(mod5),(2).CD-(2)得,3a-b8-44(mod5).因此,3a-b54.例2若a为自然数,证明10I(a-a).分析如果换一种方式表达,所要证明的即是要证小灯与小妗个位数字相同.用对于模10两数同余来解,可以使解题过程简化.证明::ai5=axa-iwa(mod10),a1919=a4497-1a(mod10),a1965-a1545a-a0(mod10)BP1OI(a195-a).说明:这里用到一个事实:对于任何自然数a,a,与a的个
4、位数字相同.例3计算机录入员平均每分钟可以输入72个汉字,输入一篇有西为个汉字的文章所用的分钟数恰好是整数,求五位数而药.分析这道题实质是求一个能被72整除的五位数而西.W:V72=89,又72|砺7,由能被8、9整除的特征,得x67+9y=0(mod9)(1)i70090y0(mod8).(2)由(2)得y2(mod8)因0y9且层整数y=2.把y=2代入Q)得x+6+7+9+20(mod9).3(mod9).由X是一位整数得:X=3.,所求五位数是36792.例4n=19191919-1919,求n被9除后所得商的个位数是几?一1919个1919分析设n+9=商r,那么9I(n-r),根据
5、nr=商X9,以及nr的个位数字,可推算出商的个位数字.抓住“一个整数与它的各位数字之和对于模9同余”这性质,可以很快的化大数为小数.解:1n=1919191919191919X(1+9+1+9)191920221919个19194(mod9),A9I(n-4),即n7=9X商,又.n-4的个位数字是5,磁滁所得的商的个位数字是5.例5设2n+1是质数,证明:1一2一,水被2n+1除所得的余数各不相同.分析这道题肯定不可能通过各数被2n+1除去求余数.那么我们可以考虑从反面入手,假设存在两个相同的余数的话,就会发生矛盾.而中间的推导是步步有根据的,所以发生矛盾的原因是假设不合理.从而说明假设不
6、成立,因此原来的结论是正确的.证明:假设有两个数a、b,(ab,设ba,且1an,1b19即1919个“1919”有3838个“19”,三组三组取走“19”后还剩下一组.a19(mod13).a6(mod13).即滁以13余数是6.例7求被3除余2,被5除余3,被滁余5的最小三位数.解:设X为所求数,由题意x2(mod3),(1)x3(mod5),(2)x5(mod7),(3)(3)即x=7k+5(k整数)代入(2)得7k53(mod5),2k3(mod5),2k8(mod5).k4(mod5),即k=5m+4(m是整数).x=7k+5=7(5m+4)+5=35m+33,上式代入(1)得:35
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