小学五年级奥数第11课《抽屉原理的一般表达》试题附答案.docx

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1、小学五年级上册数学奥数知识点讲解第I1课抽屉原理的一般表达试题附答案第十二讲抽屉原理的一般表述我们知道，把3个苹果随意放进两个抽屉里，至少有一个抽屉里有两上或两个以上的苹果如果把5个苹果放进两个抽屉里，上述结果当然还能成立.能不能有更强一点的结果呢？我们发现把5个苹果住两个抽屉里放，即使每个抽屉都放2个还剩1个苹果，这个苹果无论放到哪个抽屉里都会出现有一个抽屉里有3个苹果同样，如果苹果个数变为7个，那么就可以保证有一个抽屉里至少有4个苹果了。这里有什么规律呢？苹果总数抽屉个数商余数3个2=1个1个5个2=2个1个7个+2=3个1个先将苹果平均分到各个抽屉里，如果至少还余1个苹果，那么多余的苹果

2、无论再放入哪个抽屉中都可以保证至少有一个抽屉里有（商+1）个（或更多的）苹果。这样，可得到下述加强的抽屉原理：把多于mXn个苹果随意放进n个抽屉里，那么至少有一个抽屉里有（m+1）个或（m+1）个以上的苹果。例1求证：任意25个人中，至少有3个人的属相相同.要想保证至少有5个人的属相相同，但不能保证有6个人属相相同，那么人的总数应在什么范围内？例2放体育用品的仓库里有许多足球、排球和篮球有66名同学来仓库拿球，要求每人至少拿1个球，至多拿2个球.问：至少有多少名同学所拿的球种类是完全一样的？例3一副扑克牌，共54张，问：至少从中摸出多少张牌才能保证至少有5张牌的花色相同；四种花色的牌都有；至少

3、有3张牌是红桃。例4平面上给定17个点，如果任意三个点中总有两个点之间的距离小于1,证明：在这17个点中必有9个点可以落在同一半径为1的圆内。例5把1、2、3、10这十个数按任意顺序排成一圈，求证在这一圈数中一定有相邻的三个数之和不小于17。例6在边长为3米的正方形内，任意放入28个点，求证：必有4个点，以它们为顶点的四边形的面积不超过1平方米。分析与解答根据题目的结论，考虑把这个大正方形分割成面积为1平方米的9个小正方形（如右图）。答案例1求证：任意25个人中，至少有3个人的属相相同.要想保证至少有5个人的属相相同，但不能保证有6个人属相相同，那么人的总数应在什么范围内？分析与解答把12种属

4、相看作12个抽屉。因为25+12=2T,所以，根据抽屉原理，至少有3个人的属相相同。要保证有5个人的属相相同，总人数最少为：412+1=49（人）。不能保证有6个人属相相同的最多人数为：512=601人）o所以，总人数应在49人到60人的范围内。例2放体育用品的仓库里有许多足球、排球和篮球.有66名同学来仓库拿球，要求每人至少拿1个球，至多拿2个球.问：至少有多少名同学所拿的球种类是完全一样的？分析与解答拿球的配组方式有以下9种：足,排,篮,足，足,排，排,篮，篮）,足,排,足,篮,排，篮。把这9种配组方式看作9个抽屉。因为66+9=73,所以至少有7+1=8（名）同学所拿的球的种类是完全一样

5、的。例3一副扑克牌，共54张，问：至少从中摸出多少张牌才能保证至少有5张牌的花色相同；四种花色的牌都有；至少有3张牌是红桃。分析与解答一副扑克牌有四种花色，每种花色各13张，另外还有两张王牌。为了“保证”5张牌花色相同，我们应从最“坏”的情况去分析，即先摸出了两张王牌.把四种花色看作4个抽屉，要想有5张牌属于同一抽屉，只需再摸出4X47=17（张）,也就是共摸出19张牌.即至少摸出19张牌，才能保证其中有5张牌的花色相同。因为每种花色有13张牌.若考虑最“坏”的情况，即摸出了2张王牌和三种花色的所有牌共计13X3+2=41（张），这时，只需再摸一张即一共42张牌，就保证四种花色的牌都有了.即至

6、少摸出42张牌才能保证四种花色的牌都有。最坏的情形是先摸出了2张王牌和方块、黑桃、梅花三种花色所有牌共计41张，只剩红桃牌.这时只需再摸3张，就保证有3张牌是红桃了.即至少摸出44张牌，才能保证其中至少有3张红桃牌。例4平面上给定17个点，如果任意三个点中总有两个点之间的距离小于1,证明：在这17个点中必有9个点可以落在同一半径为1的圆内。分析与解答如果17个点中，任意两点之间的距离都小于1,那么，以这17个点中任意一点为圆心，以1为半径作一个圆，这17个点必然全落在这个圆内.如果这17个点中，有两点之间距离不小于1(即大于1或等于1),设这两点为01、O2,分别以01、Oz为圆心，1为半径作

7、两个圆(如图).把这两个圆看作两个抽冠，由于任意三点中总有两个点之间的距离小于1,因此其他15个点中的每一点，到0：、O二的距离必有一个小于1也就是说这些点必落在某一个圆中根据抽屉原理必吊一个圆至少包含这15个点中的8个点.由于圆心是17个点中的一点，因此这个圆至少包含17个点中的9个点.例5把1、2、3、10这十个数按任意顺序排成一圈，求证在这一圈数中一定有相邻的三个数之和不小于17o分析与解答把这一圈从某一个数开始按顺时针方向分别记为ar4、乙(见图).相邻的三个数为一组，有a2a,a4saa产八、asa10d,ara1a-共10组。a6./a5a1a4a3.a2这十组数的和的总和为(a1

8、a2+a3)+(az+a3+a4)*+(a10+a1+a2)=3(a1+a2a,+,*+0)=355=165=1610+5o根据抽屉原理这十组数中至少有一组数的和不小于17。这道题还可以用下面的方法证明：在10个数中一定有一个数是1,c=1,除去d之外，把a,、汨、M9个数按顺序分为三组.a2ara产丹a丹多.下面证明应三组中至少有一组数C和不小于17。因为这三组数之和的总和为(a1+az+a2)+(a4+a5+a)+(a7+aa5)=2+3+10=54=316+6o根据抽屉原理这三组数中至少有一组数之和不小于17。第二种证法中去掉了最小数1,其实若去掉2、3、4也可以的，因为54=3X17+

9、3,所以用第二种证法还可以得出至少有一组数的和不小于18的结论，而第一种证法却不能得出这个结论。此外，由于54=3X18,因此即使第二种证法也不能由抽屉原理得出三组数中至少有一组数的和不小于19的结论一事实上，如右图中所示，划了线的三组数的和都是18(并且其他任何三个相邻数之和都小于18)o例6在边长为3米的正方形内，任意放入28个点，求证：必有4个点，以它们为顶点的四边形的面积不超过1平方米。分析与解答根据题目的结论，考虑把这个大正方形分割成面积为1平方米的9个小正方形(如右图)。3因为28=3X9+1,所以根据抽屉原理，至少有4个点落在同一个边长为1米的小正方形内（或边上）（图），这4个点

10、所连成的四边形的面积总小于或等于小正方形的面积，即以这4个点为顶点的四边形的面积不超过1平方米。例7在边长为1米的正方形内，任意放入9个点.求证：至少有3个点，以这三个点为顶点的三角形面积不大于春平方米。O分析与解答把边长为1米的正方形取各边的中点，把对边中点相连将它分成四个边长为：米的小正方形（如右图）.把这四个小正方形看成4个抽屉，把9个点随意放入4个抽屉根据抽屉原理，有一个抽屉中至少有3点为顶点的三角形的面积不大于小正方形面积的一半.设A、B、C三点在同一个小正方形内.如果Aabc中的某一条边BC与小正方形的边平行（如图），则SAABC=晓BCXh整米X4米=春平方米如果AABC的三边均

11、与小正方形的边不平行（如图）.则可过其中一点B作BD与小正方形边平行，它将aabc分成两个三角形：Aabd与Abcd.则S他C=SAABD+Sacbd=;XBDXh】+；XBDXh2=BD(h+h?)万X5米X5米由以上证明可知，至少有3个点，以这三个点为顶点的三角形面积不大于2平方米。习题十二1“幼苗杯”数学竞赛获奖的87名学生来自12所小学，证明：至少有8名学生来自同一所学校。Z在一米长的线段中任意放入7个点，证明：不论怎样放，至少有两点之间的距离小于17厘米。3.52张扑克牌有红桃、黑桃、方块、梅花4种花色各13张，问：至少从中取出多少张牌，才能保证有花色相同的牌至少2张。至少从中取出几

12、张牌，才能保证有花色相同的牌至少5张。至少从中取出几张牌，才能保证有4种花色的牌。至少从中取出几张牌，才能保证至少有2张梅花牌和3张红桃。至少从中取出几张牌，才能保证至少有2张牌的数码（或字母）相同。4 .学校图书馆里有A、B、C、D四类书，规定每个同学最多可以借2本书，在借书的85名同学中，可以保证至少几个人所借书的类型是完全一样的？5,把1到30这30个自然数摆成一个圆圈，则一定有三个相邻的数，它们的和不小于47。6 .在一个边长为1米的正三角形内随意放置10个点.证明：至少有2个五年级奥数上册：第十二讲抽屉原理的一般表达习题解答习题十二解答1把12所小学看作12抽屉，87名获奖学生是哪所

13、小学的就进入相应的抽屉。/87=127+3,，根据抽屉原理，至少有8名学生来自同一所小学。2.1米等于100厘米，把这条线段平均分成6段，每段长为岁厘米O17厘米.把7个点任意放入这6段中，根据抽屉原理，至少有两个点落在同一段中.则这两个点之间的距离小于17厘米。3.5张;17张；40张；43张；14张。附：奥数技巧分享分享四个奥数小技巧。希望孩子早进步哦。技巧1：培养孩子数字感要想入门奥数，很大一部分程度上靠的就是孩子的数字感，那么我们应该如何培养孩子的数字感呢？最简单的方法，就是让孩子去超市购物，自己算账，把自己的日常开销交给孩子进行计算。不但可以练就孩子熟能生巧的技巧，还能让孩子早点持家

14、，懂得金钱来之不易，好好学习的道理，一箭双雕！小学奥数中，很多题型都是有规律的计算题，希望家长能够注重孩子的计算能力的培养，从数字感的培养练就孩子基本的奥数素质能力哦。技巧2：培养孩子敏锐的观察能力奥数题目中有一类题目就是移动火柴或者根据已有图案进行图案相关的规律的填充,此类型的题目考核的就是学生的观察能力，所以我们希望家长从小就开始培养孩子的观察能力。比如，给孩子的额外作业就是观察家里的变化，写日记，或者观察老师讲课的方式等等，这都是比较不错的培养孩子观察能力的方法。技巧3：培养孩子的快速记忆能力快速记忆能力的提升，利于孩子快速构建奥数题型，快速记忆题目中给出的信息，从而快速解题，孩子快速记

15、忆力的提升，可以从语文古诗下手。要求孩子在10分钟内熟记并默写一篇古诗，渐渐按照这个标准去要求他干其他的事情，久而久之孩子就能够养成快速记忆的习惯，对其后续学习奥数会有很大的帮助的！技巧4：注重孩子发散思维的培养奥数的学习过程中，很多时候需要孩子的发散思维，但是孩子在学数学时，养成了定向思维，遇到问题就将格局定性为固定方式，因此遇到稀奇古怪，考点比较灵活的题型，孩子就无从下手了，所以我们建议家长们多多培养孩子的发散思维。培养孩子的发散思维可以从以下几点做起:如与孩子的交流中，可以说着孩子感兴趣的话题,突然扯到孩子不喜欢的东西上，慢慢孩子就有了思维的跳跃，有了思维的跳跃，孩子就能养成发散思维。还有一个比较好的培养孩子发散思维的方法,就是结合日常生活的实际例子带着孩子做一些脑筋急转弯的题目，如孩子喝水的时候，可以问孩子，我想第一口水喝到的就是瓶子最底下的水，怎么办？鼓动孩子自己去找解决方法。帮助孩子培养发散思维！奥