学案平面向量的应用.docx

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1、平面向量的应用【第一学时】学习重难点学习目标核心素养向量在平面几何中的应用会用向量方法解决平面几何中的平行、垂直、长度、夹角等问题数学建模、逻辑推理向量在物理中的应用会用向量方法解决物理中的速度、力学问题数学建模、数学运算【学习过程】一、问题导学预习教材内容，思考以下问题：1 .利用向量可以解决哪些常见的几何问题？2 .如何用向量方法解决物理问题？二、合作探究探究点1：向量在几何中的应用角度一：平面几何中的垂直问题偏1如图所示，在正方形ABe。中，E,尸分别是A3,BC的中点，求证：AF1DE.AER证明：法一：设AZ)=,AB=bf则Ia1=Ib|,b=O,又D=D+A=-。+3万，疗=A+

2、肝=b+%,1-23-4AF1DE,BPAF1DE.法二：如图，建立平面直角坐标系，设正方形的边长为2,则A(0,0),D(0,2),E(1,0),F(2,1),#=(2,1),Dk=(1,-2).因为办D=(2,1)(1,-2)=2-2=0,所以#_15fe,BPAF1DE.角度二：平面几何中的平行(或共线)问题CFAF儡如图，点。是平行四边形ABCQ的中心，E,尸分别在边CDAB上，且器=强=匕Drn求证：点、E,O,尸在同一直线上.证明：设A=m,Ab=n,CFAFI由器=黑岩，知四尸分别是CQ,AB的三等分点,1,Ur151所以劭=两+初=3或+;祀m+(m+w)=/+%,O=t+C=

3、At,+C=I(n+)-m=m+n.所以网)=碗.又O为劭和波的公共点，故点E,。，厂在同一直线上.角度三：平面几何中的长度问题31如图，平行四边形ABCQ中，已知Ao=1,45=2,对角线80=2,求对角线AC的长.解：设m=,A=b,则月力=ab,At=a+b,而=A1=ya11ab-b1=yj1+42aby52ab2,所以52b=4,所以力=；,又|独2=|0+臼2=/+2仍+82=1+4+2。功=6,所以|祀T=y,即AC=y.探究点2：向量在物理中的应用E(1)在长江南岸某渡口处，江水以12.5km/h的速度向东流，渡船的速度为25km/h.渡船要垂直地渡过长江，其航向应如何确定？(

4、2)已知两恒力FI=(3,4),Fi=(6,5)作用于同一质点，使之由点A(20,15)移动到点8(7,0),求尸2分别对质点所做的功.D解：(1)如图，设A表示水流的速度，耳力表示渡船的速度，At表示渡船实际垂直过江的速度.因为A+At)=祝，所以四边形ABCo为平行四边形.在RtA4CQ中，ZACD=90o,Dt=A=12.5.IA力|=25,所以NCw=30。，即渡船要垂直地渡过长江，其航向应为北偏西30。.(2)设物体在力*作用下的位移为s,则所做的功为W=Fs.因为A=(7,0)一(20,15)=(-13,-15).所以W1=尸A=(3,4).(-13,-15)=3x(13)+4(1

5、5)=-99(焦)，Wi=FiAb=(6,-5)(-13,-15)=6(13)+(5)(15)=3(焦).三、学习小结1 .用向量方法解决平面几何问题的“三个步骤”2 .向量在物理学中的应用(1)由于物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解与合成与向量的减法和加法相似，可以用向量的知识来解决.(2)物理学中的功是一个标量，即为力尸与位移S的数量积，即W=尸s=Fscos(0为尸与S的夹角).四、精炼反馈1.河水的流速为2ms,一艘小船以垂直于河岸方向10m/s的速度驶向对岸，则小船在静水中的速度大小为()A. 10m/sB. 2y26m/sC. 46m/sD.12m/s解析：选B.由题意知

6、W水=2m/s,Iy船I=IOms,所以小船在静水中的速度大小M=102+22=226(m/s).D. 已知三个力力=(2,1),f=(3,2),作出示意图如图.fi=(4,-3)同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，再加上一个力则t=()A. (1f2)B. (1,一2)C.D.(1,2)解析：选D.由物理知识知力+A+A+=0,故八=一(/1+/2+/3)=(1,2).3.设尸，。分别是梯形43CO的对角线AC与8。的中点，AB/DC,试用向量证明：PQ/AB.证明：设反=2A(20且A1),因为诊=A$一油=劝+地一(初一At)=劝+；(劝-屈)-(At+Dt)=Accb-b)=；(

7、ct)A)=g(T+1)初，所以及屈，又P,Q,A,8四点不共线，所以尸。A3.【第二学时】学习重难点学习目标核心素养余弦定理了解余弦定理的推导过程逻辑推理余弦定理的推论掌握余弦定理的几种变形公式及应用数学运算三角形的元素及解三角形能利用余弦定理求解三角形的边、角等问题数学运算【学习过程】一、问题导学预习教材内容，思考以下问题:1 .余弦定理的内容是什么？2 .余弦定理有哪些推论？二、合作探究探究点1：已知两边及一角解三角形睡E(1)(2018.高考全国卷H)在A43C中,CoS苧=乎,BC=fAC=5t则AB=()A.42B.30C.29D.25(2)已知3C的内角A,B,C的对边分别为mb

8、,c,a=y5tc=2,COSA=亨则b=()A.2B.3C.2D.3rI3解析：(1)因为CoSC=2cos?i=2x1=一亍所以由余弦定理，得-2AGBCcosC=25+1-251f-J=32,所以A8=41故选A.(2)由余弦定理得5=22+-2x2反osA,2因为COSA=所以3一昉一3=0,所以6=30=一；舍去).故选D.答案：(I)A(2)D互动探究：变条件：将本例中的条件“=小，c=2,COSA=I改为“=2,c=23,cosA=求人为何值？解：由余弦定理得：cr=b1+c1-2bccosA,所以2?=庐+(23)2-223,即从一6。+8=0,解得b=2或b=4.探究点2：已

9、知三边(三边关系)解三角形21(1)在AABC中，已知。=3,b=5,c=19,则最大角与最小角的和为()A.90oB.120C.135oD.150(2)在ZiABC中，若(+c)(-c)=bCb-c则A等于()A.90oB.60C.120oD.150解析：(1)在A43C中，因为=3,b=5,c=19,所以最大角为3,最小角为A,/+一心9+25191所以CoSC=-5-7=X=5,所以C=60。，所以A+B=120。，所以aABC中1C1UZ(3)乙的最大角与最小角的和为120。.故选B.+C?-a21(2)因为(+c)(ac)=b(Z?c),所以加+/=bc,所以CoSA=荻=.因为A(

10、0,180),所以A=60。.答案：(I)B(2) B探究点3：判断三角形的形状BHm在8。中，若/?2sin2C+c2sin=2Z?ccosBcosC,试判断ABC的形状.解：将已知等式变形为tr(I-Cos2O+c2(1-cos2B)=2bccosBcosC.由余弦定理并整理，得从+中相铲Fa2+c2b2/+护一C2=2AX2*X2，肝N小上二I(a2+b2c2)+(a2+c2-b2)24a4所以b-+c=4?=福所以A=90。.所以?!BC是直角三角形.三、学习小结1 .余弦定理文字语言三角形中任何一边的平方,等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍符号语言辟=-2+/2

11、bccosA从=M+/CCOSBc2=+b2-2abcos_C2.余弦定理的推论b2+c2-a2cos=2bc;十一一cosB=-2c-；a1+b1-c2cosC=3.三角形的元素与解三角形（1）三角形的元素三角形的三个角A,B,C和它们的对边mb,C叫做三角形的元素.（2）解三角形已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.四、精炼反馈1 .在AABC中，己知。=5,b=7,c=8,则A+C=（）A.90oB.120C.135oD.150.n,r、2c2-Z?22564-491解析：选BCOSB=赤=2x5x8=2所以B=60。，所以A+C=120。.2 .在AABC中，已知（0+b+

12、c）（b+c）=3bc,则角A等于（）A.30oB.60C.120oD.150解析：选B.因为（b+c）2a2=h2+c2-2bc-a1=3bcf所以b2+c2-a2=bcf所以CoSA=-五一=*所以A=60。.3 .若AABC的内角A,B,。所对的边小b,C满足（a+b）2-c2=4,且C=60。，则必解析：因为C=60。，所以c2=a2+b2-1abcos60,即。2=/+序一。.又因为（+匕）2/=4,所以c2=2+Z22Z?-4.4由知一=2。-4,所以b=g.4答案：I4 .在AABC中，QCoSA+AcosB=ccosC,试判断a48C的形状.1C2/+-IpCptr心解：由余弦

13、定理知COSA=俞，cosB=Z-，cosC=7，代入已知ZbcZcaZabR/aamb2+cza21c1+a1b21cz-a2b2条件得方+5cr1=0,2bc2ca2ab通分得/（+/_/）+b2序）+c2（c2-02一扶）=0,展开整理得（/一户）2=。4所以a2-b2=c2fBP。2=2+。2或=cfi+c2t根据勾股定理知是直角三角形.【第三学时】学习重难点学习目标核心素养正弦定理通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法逻辑推理【学习过程】一、问题导学预习教材内容，思考以下问题：1 .在直角三角形中，边与角之间的关系是什么？2 .正弦定理的内容是什么？二、合作探究探究点1：已知两角及一边解三角形Jam在ZkABC中，已知C=10,A=45o,C=30,解这个三角形.解：因为A=45。，C=30,所以8=180。一(A+C)=105。.aczncsinASsin45nt=寻CI=T7=10.co-1O2.sinAsinCsinCsin30Y因为sin75o=sin(30o+45o)=sin30ocos45o+cos30osin45o=j,所以10sin(A+C)2+6r1r-一行正一=201=52+56.探究点2：已知两边及