大数定律和中心极限定理的应用.docx

《大数定律和中心极限定理的应用.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《大数定律和中心极限定理的应用.docx（20页珍藏版）》请在第一文库网上搜索。

1、学号：08802053青攵学院毕业设计（论文J大数定律和中心极限定理的应用分院计算机科学与技术学院专业信息与计算科学班级信计本0801姓名至耀指导教师仝伟摘要大数定律和中心极限定理是概率论中很重要的定理，也是概率论与数理统计联系的关键所在，更是生活中不可缺少的一部分。较多文献给出了不同条件下存在的大数定律和中心极限定理，并利用大数定律和中心极限定理得到较多模型的收敛性。但对于它们的适用范围及在实际生活中的应用涉及较少。本文介绍了几种较为常见的大数定律和中心极限定理，并列举了它们在经济生活、数学分析、信息论等各个不同领域的应用。将理论具体化、将可行的结论用于具体的数学模型中，以使得枯燥的数学理论

2、与实际相结合，使大家对大数定律与中心极限定理在实际生活中的应用价值有了更深的认识。关键词：大数定律，中心极限定理，期望，方差，应用AbstractThe1awof1argenumbersandcentra11imittheoremisveryimportantinprobabi1itytheorytheorem,anditisnoton1ythecontactkeyofProbabi1itytheoryandmathematica1statistics,buta1soanindispensab1epartof1ife.Many1iteratureshavegiventhedissimi1arc

3、onditionsofthe1awof1argenumbersandcentra11imittheorem.Many1iteratureshavegiventhedissimi1arconditionsofthe1awof1argenumbers,andhaveobtainedtheastringentusingthe1awof1argenumbersandcentra11imitingtheorems.Butherehasnomanyresu1tsinpractica11ifeandapp1icab1escope.HereIintroducesevera1kindsof1awsof1arge

4、numbersandcentra11imittheorems,thenthispaperenumeratessomedifferentapp1icantsineconomic1ife,mathematicsandinformationtheoryandsoon.Itmakestheoryconcrete1y,andconsiderssomeconcretemathematica1mode1,andsomakesmathematica1theoryrea1ity,thuswecanhavedeeperunderstandingonthe1awof1argenumbersandthecentra1

5、1imitingtheorem.Keywords:The1awof1argenumbers,Centra11imittheorem,Expectation,Variance,App1ication绪论11 大数定律的应用11.1 引言11.2 预备知识11.2.1 相关定义11.2.2 切比雪夫不等式及其应用21.3 几类重要的大数定律的应用31.3.1 切比雪夫大数定律及其在测绘方面的应用31.3.2 伯努利大数定律及其在重复事件方面的应用41.3.3 辛钦大数定律及其在数学分析方面的应用51.4 大数定律的意义72 中心极限定理的应用72.1 前言72.2 几类重要的中心极限定理的应用82

6、.2.1 林德伯格定理及其在保险方面的应用82.2.2 列维定理及其在极限求解方面的应用92.2.3 棣莫弗拉普拉斯定理及其在实际生活方面的应用102.2.4 李雅普诺夫中心极限定理及其在具体分布方面的应用133大数定律和中心极限定理的比较应用153.1大数定律和中心极限定理的比较应用15结束语16致谢17绪论大数定律和中心极限定理是概率论中很重要的定理,也是概率论与数理统计联系的关键所在。概率论与数理统计是研窕随机现象统计规律性的一门数学学科,起源于17世纪，发展到现在，已经深入到科学和社会的许多领域。从17世纪到现在,很多国家对这两个公式有了多方面的研究。长期以来,在大批概率论统计工作者的

7、不懈努力下,概率统计的理论更加完善,应用更加广泛,在现代数学中占有重要的地位。本文共分3章,每章结合具体问题展开讨论，内容涉及对基本公式概念的理解,对基础理论知识的剖析,定理的具体应用，结合实际,分析解答了有关的典型例题。对问题的分析与解答,注重集知识性、科学性与趣味性于一体,有助于启迪思维,增长知识面,为进一步学习新的知识打下坚实的基础。本文给出的例子,更贴近人们的社会、经济、生活和生产管理,更具有时代气息。这些例子能把大数定律和中心极限定理渗透到各种实际生活中去。1大数定律的应用1.1 引言生产、生活及科学实验中的风险事故都具有不确定性，或者称为随机性。但是，任何事情的发生、发展都具有一定

8、的客观规律。如果各种条件都能预知,则事物发生的结果也能予以正确地测定，此时虽然风险事故仍然存在，损失仍然会发生，但是，随机性将因此消失。如果有大量的事例可供考察研究，则这些未知的、不确定的力量将有趋于平衡的自然倾向，那些在个别事例中存在的随机风险将在大数中消失，这种结论就是概率论中的大数定律。它的结论也可叙述为：大量的随机现象由于偶然性相互抵消而呈现出某种必然的数量规律。1.2 预备知识1.2.1 相关定义在介绍大数定律之前,先介绍几个相关定义：定义1设7“（=1,2一）为概率空间（。,尸）上定义的随机变量序歹女简称随即序列）,若存在随即变数J使对任意0,恒有：p7-7g=o或!吧PK-4g=

9、,则称随即序列基依概率收敛于随机变量J（J也可以是一个常数），并用下面的符号表示:Iim=7(P)或或一,定义2设匕J为一随即序列,数学期望石)存在,令乙=1jXj,若Iim-崎)=o(P),则称随机序列，“服从大数定律，或者说大数法则成立。定义3设KO)是分布函数序列,若存在一个非降函数尸(%),对于它的每一连续点X,都有Iim乙(X)=产(X),Fn(x)F(x),则称分布函数序列/(x)弱收敛于/(X)Oo定义4设死(幻(=1,2,)，/(X)分别是随机变量(=1,2,)及J的分布函数,若F11(x)F(X),则称久依分布收敛于J亦记为17且有：若，口7贝仁，c(2)设C为常数,则一c的

10、充要条件是-c1.2.2 切比雪夫不等式及其应用切比雪夫不等式：设随机变量X具有有限数学期望和方差az,则对于任意正数,如下不等式成立，PXc或有PX-”e1-4这个不等式可解释为：对任意给定的正常数,可以作出两个区间(-)和(+,+8),不等式表示,在一次试验中，随机变量J的取值落在(-8,-)U(+,+的概率小于等于切比雪夫(ChebySheV)不等式的应用：(1)已知期望和方差,我们就可以利用切比雪夫不等式估计在期望的E邻域的概率。(2)已知期望和方差,对确定的概率,利用切比雪夫不等式求出,从而得到所需估计区间的长度。(3)对n重伯努利试验,利用切比雪夫不等式可以确定试验次数。(4)它是

11、推导大数定律和其他定理的依据。例1：已知正常男性成人血液中,每毫升白细胞数的平均值是7300,均方差是700,利用切比雪夫不等式估计每毫升血液含白细胞数在5200-9400之间的概率。解：设X表示每毫升血液中含白细胞个数,则EX=7300,(X)=700WJP5200X94=PX-730C21=1-HX-730CI21)而px-730012100=-U1j210029所以QP5200X9400-1.3 几类重要的大数定律的应用1.3.1 切比雪夫大数定律及其在测绘方面的应用切比雪夫大数定律：设独立随机变量序列X,X2，X”，的数学期望E(X)E(X2)，,E(X,)与方差。(X)。(、2)，,

12、。(X”)，都存在，并且方差是一致有上界的，即存在某一常数K,使得。(Xj)VK=1,2,，则对于任意的正数打有UmP(-tXi-YE(Xi)=1.nn7n1r1=1r=1推论1：设随机变量七，、2,X”，相互独立,且它们具有相同的分布及有限的数学期望和方差：EXj=/(7=1,2,)，则对任意给定的正数,有IimP(-YXi-a0,恒有IimP(ISb2Vg)=1,则nnI充分大时S；就可以看作是/的近似值。解：依题意,可以将观察结果,?,x”,看作是相互独立具有相同分布的随机变量。则E(Xi),D(Xi)2(i=1,2,n),仪器第i次测量误差Xi-a的数学期望E(Xi-a)-a,D(Xi

13、)2设匕=(X4)2亦是相互独立的具有相同分布随机变量,在仪器无系统误差时有E(X1)=。，即/=E(Yi)=e(X,.-6?)2=e(Xi-/)2=D(Xi)=2,z=1,2,由切比雪夫大数定律，VeX),有IimP(V-2)=1,即Q0,有IimP(-Y(X-a)2-2)=nHy“1从而确定当00时,随机变量(Xj-。)2依概率收敛于即当充分大时，h1可以用s；=(X,-)2作为仪器误差的方差近似值。1.3.2 伯努利大数定律及其在重复事件方面的应用伯努利大数定律(频率的稳定性)：设”是次独立试验中事件A发生的次数,p是事件A在每次试验中发生的概率,则对于任意正数,恒有Iim=0或Iim=

14、111一8Wf1表明：随着n的增大,事件A发生的频率及与其概率p的偏差p大于预先给定nn的精度C的可能性愈来愈小,小到可以忽略不计。这就是频率稳定于概率的含义,或者说频率依概率收敛于概率。这个定理以严格的数学形式刻画了频率的稳定性,因此,在实际应用中，当试验次数很大时,便可以用时间发生的频率来代替事件的概率。伯努利大数定律提供了用频率来确定概率的理论依据。我们可通过多次重复一个试验,确定事件A在每次试验中出现的概率为以力P=P(A)。n譬如,抛一枚硬币出现正面的概率P=O.5。若把这枚硬币连抛10次,则因为n较小,发生大偏差的可能性有时会大一些,有时会小一些。若把这枚硬币连抛n次,当n很大时，由切比雪夫不等式知：证明出现的概率与0.5的偏差大于预先给定的精度(若取精度=0.01)的可能性P(I-0.50,0115x0;5=。Wn0.014当n=105时,大偏差放松的可能性小于-!-=2.5%。当n=106时,大偏差发