因式分解的常用方法(方法最全最详细).docx

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1、因式分解的常用方法第一部分：方法介绍因式分解：因式分解是指将一个多项式化成几个整式的积的形式，主要有提公因式法，公式法，十字相乘法，分组分解法，换元法等因式分解的一般步骤是：(1)通常采用一“提”、二“公”、三“分”、四“变”的步骤。即首先看有无公因式可提，其次看能否直接利用乘法公式；如前两个步骤都不能实施，可用分组分解法，分组的目的是使得分组后有公因式可提或可利用公式法继续分解，(2)若上述方法都行不通，可以尝试用配方法、换元法、待定系数法、试除法、拆项(添项)等方法；。注意：将一个多项式进行因式分解应分解到不能再分解为止。一、提公因式法ma+mb+mc=m(a+b+c)二、运用公式法.在整

2、式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：JZJZJZ71234z/Vt2a1+2b2+2c2=2ah+2bc+2ca=(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2=0=a=b=c三、分组分解法.(一)分组后能直接提公因式例1、分解因式：am+an+hm+bn分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有。，后两项都含有b,因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。解：原式二(劭?+。)+(切力+加)=a(m+)+bm+)A每组之间还有公因式！=(m-n

3、)(a+b)例2、分解因式：2ax-1Qay+5by-bx解法一：第一、二项为一组；第三、四项为一组。解:原式=(20r-1Oay)+(5by-bx)=2a(x-5y)-b(x-5y)=(x-5y)(2a-b)解法二：第一、四项为一组；第二、三项为一组。原式=(2ax-bx)+(-1Oay+5by)=x(2a-b)-5y(2a-b)=(2a-h)(x-5y)练习：分解因式1、/-ab+ac-bc2、xy-x-y-1(二)分组后能直接运用公式例3、分解因式：/一,2+q+qy分析：若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，虽然可以提公因式，但提完后就能继续分解，所以只能另外分组。解：原式=(/

4、-y2)+(4+y)=(xy)(x-y)+6f(x+y)=(X+y)(x-y+)例4、分解因式：a2-1abb2-c2解:=(a2-2ab+b2)-C2=(a-b)2-c2=(a-b-c)(a-b+c)综合练习：(1)X3+X2y-xy2-y3(2)ax2-bx2+bx-ax+a-b(3)X2+6+9,2-162+8-1(4)a2-6Z?+12Z?+9Z?2-4a(5)a4-2a3+a2-9(6)4a2x-4a2y-b2x+b2y(7) x2-2xy-xz+yz+y2(8)a2-2a+b2-2b+1ab+1(9)y(y-2)-(m-1)(1)(10)(a+c)(a-c)+b(b-2a)C11y

5、)a2(b+c)+b2(a+c)+c2(a+b)+Iabc(12)tz3+/?3+c3-3abc四、十字相乘法.(一)二次项系数为1的二次三项式直接利用公式X2+(p-q)x-pq=(x-p)(x+q)进行分解。特点：(1)二次项系数是1;(2)常数项是两个数的乘积；(3)一次项系数是常数项的两因数的和。思考：十字相乘有什么基本规律？例.已知OVaW5,且。为整数，若2Y+3x+1能用十字相乘法分解因式，求符合条件的。.解析：凡是能十字相乘的二次三项式ax2+bx+c,都要求=-4c0而且是一个完全平方数。于是A=9-8为完全平方数，a=例5、分解因式：X2+5x+6分析：将6分成两个数相乘，

6、且这两个数的和要等于5。由于6=23=(-2)(-3)=1X6=(-1)X(-6),从中可以发现只有2X3的分解适合，即2+3=51AU2解：X2+5x+6=X2+(2+3)x+2313=(x+2)(X+3)12+13=5用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和要等于一次项的系数。例6、分解因式：x2-7x+6解:原式=-+(-1)+(-6)+(-1)(一6)1-1=(x-1)(x-6)16(-1)+(-6)=-7练习5、分解因式(I)X2+14x+24(2)a2-15+36(3)x2+4x-5练习6、分解因式(I)X2+x2y22y15(3)x21Ox24(二

7、)二次项系数不为1的二次三项式一ax2+bx+c条件：(1)a=axa2G(2) c=c1c2afc2(3) b=aic2+tz2cb=axc1+a2cx分解结果：ax2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2)例7、分解因式：3x2-11x+10分析，1X?235(-6)+(-5)=-11解:3x2-11x10=(x-2)(3x-5)练习7、分解因式：5x2+7x-6(2)3x2-7x+2(3)10x2-17x+3(4)-6/+11y10()二次项系数为1的齐次多项式例8、分解因式：a2-Sab-2Sb2分析：将看成常数，把原多项式看成关于。的二次三项式，利用十字相乘法进行分解。18b11

8、6b8b+(-16b)=-8b解：a2-Sab-2S2=a2+Sb-(-6b)a+Sb(-6b)=(。+Sb)(a-16b)练习8、分解因式/-3xy+2y2(2) m2-6mn+Sn2(3)a2-ab-b2(四)二次项系数不为1的齐次多项式例9、2x2-7xy+6y2例10、X2y2-3xy+2把工V看作一个整体1、J-I2(-3y)+(-4y)=-7y解:原式=(x-2y)(2x-3y)练习9、分解因式：(1)15,+7Xy_4)/(-1)+(-2)=-3解：原式=(Ay-1)(孙一2)(2)a2x2-60r+8综合练习10、(1)8x6-7x3-1(2)2x2-xy-5y2(3) (x+

9、y)2-3(x+y)-10(4)(a+b)2-4a-4b+3(5)x2y2-5x2y-6x2(6)m2一痴+4/-3，+6+2(7)x2+4xy+4y2-2x-4y-3(8)5(a+b)2+23(a2-b2)-0(a-b)2(9)4x2-4-6x+3y+j2-10(10)12(x+y)2+11(x2-y2)+2(x-y)2思考:分解因式：abcx2+(a2b2+c2)x+abc五、换元法。(1)、换单项式例1分解因式B+I43y+49y2.分析:注意到x=(3)2,若把单项式3换元，设3=m,则6=I2,原式变形为m2+14my+49y2=(m+7y)2=(x3+7y)2.(2)、换多项式例2

10、分解因式(2+4x+6)+(x2+6x+6)+x2.分析：本题前面的两个多项式有相同的部分，我们可以只把相同部分换元，设X26=m,则x2+4x+6=m+4x,x2+6x+6=m+6x原式变形为(m+4x)(m+6x)+2=m2+10mx+24x2x2=m2+10mx+25x2=(m+5x)2=(X2+6+5x)2=(x+2)(x+3)2=(x+2)2(+3)2.以上这种换元法，只换了多项式的一部分，所以称为“局部换元法”.当然，我们还可以把前两个多项式中的任何一个全部换元，就成了“整体换元法”.比如，设2+4x+6=m,则2+6x+6=m+2x,原式变形为m(m+2x)X2=m2+2mx+x

11、2=(m+x)2=(x2+4x+6+x)2=(x2+5x+6)2=(x+2)(x+3)2=(x+2)2(x+3)2.另外，还可以取前两个多项式的平均数进行换元，这种换元的方法被称为“均值换元法”，可以借用平方差公式简化运算.对于本例，设m=T(x2+4x+6)+(x2+6x+6)=x2+5x+6,贝2+4x+6=m-x,x2+6x+6=m+x,(m+x)(m-x)+x2=m2-x2+x2=m2=(x2+5x+6)2=(x+2)(x+3)2=(x+2)2(x+3)2.例3分解因式(x1)(x+2)(x3)(x+4)+24.分析：这道题的前面是四个多项式的乘积，可以把它们分成两组相乘,使之转化成为

12、两个多项式的乘积.无论如何分组，最高项都是X2,常数项不相等，所以只能设法使一次项相同.因此，把(X-I)(X+2)(x-3)(x+4)分组(x-1)(x+2)(x-3)(x+4)=(x2+x-2)(x2+x-12),从而转化成例2形式加以解决.我们采用“均值换元法，设m=T(2+2)+(2+x12)=2+.7,则x2+x-2=m+5,x2+x-2=m-5,原式变形为(m+5)(m-5)+24=m2-25+24=m2-1=(m+1)(m-1)=(x2+x-7+1)(x2+x-7-1)=(x2+x-6)(x2+x-8)=(x-2)(x+3)(x2+x-8).(3)、换常数例1分解因式x2(x+1

13、)-20032004x.分析：此题若按照一般思路解答，很难奏效.注意到2003、2004两个数字之间的关系，把其中一个常数换元.比如，设m=2003,则2004=m+1.于是，原式变形为x2(x+1)-m(m+1)x=xx(x+1)-m(m+1)=x(x2+x-m2-m)=x(x2-m2)+(x-m)=x(x+m)(x-m)+(x-m)x(x-m)(xm+1)=x(x-2003)(x+2003+1)=x(x-2003)(x+2004).例13、分解因式(1)2005X2-(20052-1)x-2005(2)(x+1)(x+2)(x+3)(x+6)+X2解：(1)设2005=。，典)原式=Or2-1)x-a=(x+1)(x-6r)=(2005x+1)(x-2005)(2)型如gd+g的多项式,分解因式时可以把四个因式两两分组相乘。原式=(X2+7x6)(X2+5x+6)+x2SX2+5x+6=A,则V+7+6=A+2x：原式=(A+2x)A+=a2+2Ax+x2=(A+x)2(x2+6x+6)2练习13、分解因式(D(x2+xy+)2-4x(x2+y2)(2) (x2+3x+2)(4x2+8x+3)+90(3) (2+1)2+(a2+5)2-4(a2+3)2例14、分解因式(1)2x4-x3-6x2-x+2观