全国2014年04月高等教育自学考试 04184线性代数（经管类）试题及答案.docx

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1、一、单项选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其选出并将涂或未涂均无分。Sii3o3I2o+5a1.设行列式11=3,删行列式11a21a22a21A.-15C.62.设A,B为4阶非零矩阵，且AB=O,A.1C.33.设向量组=(1,0,0)r,2=(0,1A.(0,-1,2)C.(-1,0,2)4 .设A为3阶矩阵，且r(A)=2-的通解为A.kaC.25 .二次型f(X1,X2,X3)=X2+2x22+X31-12C.-12-1TJ注意事项:全国2014年4月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题课程代码：04184请考生按

2、规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上,说明：在本卷中，/表示矩阵N的转置矩阵，*表示矩阵A的伴随矩阵，表示单位矩阵，表示方阵/的行列式，N4）表示矩阵4的秩。选择题部分注意事项：1 .答题前，考生务必将自己的考试课程名称、姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸规定的位置上。2 .每小题选出答案后，用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。不能答在试题卷上。2a22+5a21B.-6D.15若r(A)=3,则r(B)=B.2D.4,O)1则下列向量中可由可，a2线性表出的是B.(-1,2,0)D.(1,2,-1)2为齐次线性方程组A

3、x=O的两个不同的解。k关B.ka2D.kaa222xx2+4xx3-2x2x3的矩阵是1-24、B.02-2Wo1r12-D.22-1-1-I1非选择题部分；上，不能答在试题卷上。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）2346.3阶行列式I52第2行元素的代数余子式之和A2+A22+A23=1117 .设A为3阶矩阵，且iA=2,则A*=.8 .设矩阵A=IB=P11则ABT=.IoIOJ(OIOJ9 .设A为2阶矩阵，且1A1=；,则|(-3A)I=.10 .若向量组由=(1,-2,2),ct2=(2,0,1),3=(3,k,3)，线性相关,则数k=.11 .与向量(3,-4

4、)正交的一个单位向量为.12 .齐次线性方程组E*+2+j3=y的基础解系所含解向量个数为.2x+x2-3x3=013 .设3阶矩阵A的秩为2,a1,a2为非齐次线性方程组Ax=b的两个不同解，则方程组Ax=b的通解为14 .设A为n阶矩阵，且满足E+2A=0,则A必有一个特征值为.15 .二次型f(x,x2,X3)=x+2xx2+x22+x32的正惯性指数为.三、计算题(本大题共7小题，每小题9分，其63分)1324413916 .计算行列式D=24J；的值324119.求向求组q=(1T，2,1),2=(b0,1,2),a3=(,2,0,1)a4=(-b0,-3,1),a5=(4,-b5,

5、7的秩和一个极大线性无关组，并将向量组中的其余向量由该极大线性无关组线性表出.x1+x3+2x4=-120.求线性方程组2x1+X,+3x,+X4=-4一rc”JU的通解x1+Zx2+3x3-4x4=-5-X1-x2-2x3+x4=3(要求用它的一个特解和导出组的基础解系表示),200、21 .已知矩阵A-021的一个特征值为1,求数a,并求正交矩阵Q和对角矩阵A,J)1a,使得QAQ=A.22 .用配方法化二次型f（x,x2,X3）=x+3x：2x32+4xiX2+2x2X3为标准形，并写出所作的可逆线性变换.四、证明题（本题7分）23 .设eq,Q12f0i3为齐次线性方程组AX=O的一个

6、基础解系，证明2a+ot2+a3，+22+3,a+a2+2ci3也是该方程组的基础解系.全国2014年4月高等教育自学考试线性代数（经管类）答案课程代码：04184一、单项选择虢1-5CABDC二、填空题本大般共IO小题.每小短2分,共20分）6.07.48.;9.i10.-2II.；12.113.a1+(a-a2)14.-115.2三、计算题（本大题共7小题,每小题9分其63分）17.解：易知fO则P=OIOOa22a23a12-3a32a13-3a33=B,a32a33)使PA=B.Hpoo-I10-103J100.132-1f10032-I132-11010-3-211a5=a1+3a2

7、-1-13Jk0011I-31O-14)I0-I4、1I0-I4、19.解:(a,a2,a3,a4,a5)=-I2OI2OO-3-15OO1-I20-I-13-30OI022-1-23021-I701I0、。0-11巩PIO-14、rII0-14、100-2IOOIO21-1-13O00I001I-I3000100II-130、0OOO0,000。,、0000,(32-1p-3则T=-3-2I1,故X=2-21Ik11-3J(-1111-3y向量组的秩为3,一个极大线性无关组为,ct2,cx3，且ct4=-21+a2-a320.解：对增广矩阵作初等行变换X1=-3-2x4-1.同解方程组为V,

8、户3，%是自由未知量,特解T1=(-1,-2,0,0)rx2=一%+-2Xi=-X-2x4导出组同解方程组为,电，必是自由未知量，X2=一工3+3%基础解系&=(-1,-1,1,0)7,2=(-2,3,0,1)r,通解为n=*+自备+&匕2用，&凡-2OO21.解：特征方程AE-A=O-2-1=(-2)(2-2-22-1)=OO-1-a将特征值2=1代入特征方程有r-1=(1-2i2-2+2-1)=0,=2故E-A(-2X-I)(-3)=O,rO04=2对应齐次线性方程组为010特征值为4=2,=1,3=3.X）=OQ单位化为P1N=I对应齐次线性方程组为r-O、OO-1-12同解方程组为x=

9、Ox2=-3，3是自由未知量.特征向量。2=T,2单位化为P2=同解方程组为.Q产是自由未知量特征向量向xI4=3对应齐次线性方程组为1/工2-11I正交矩阵。=（p，P2，P3）=O；0OOX2X/2，X/22,使Q-Q=A.V22.解：配方法得/(x1,x2,)=(-2)2-(町-3尸-X3故标准行为/（v,力,力）=y2-y2-y1四、证明题（本题7分）23.证明：基础解系中向量个数为3,设(2ot+2+a3)+Ar2(a2a2+a3)+(a+a2+2a3)=0即(2占+&+&)%+(占+22k3)a2+(+坛+2)a3=0%,。2，。3是基础解系，故线性无关，因此2%+Z2+&3=2k1+2k2+k3=0,系数行列式M=I21=40,则齐次线性方程组只有零解,k1+k2+2k3=0112因此2aa2+a3,a1+2a2+a3,a1+a22a3线性无关.又A(2ai+a2+0t3)=2Aa1+Aa2+Ja3=0J(a1+2。2+a3)=a+2Ja2+Ja3=0(a1+a2+2a3)=/叫+Aa2+2Aa3=0则2a-a2+。3，叫+2。2+。3,5+c2+2a3也是该方程组的基础解系