专题10 圆锥曲线大题解题模板（原卷版）附答案.docx

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1、专题10圆锥曲线大题解题模板一、判断直线与圆锥曲线的位置关系：1、寻找主直线：主直线有两个要求：所给的直线条件中：有必过点(或者求证是否有必过点),给斜率或倾斜角(或者与斜率、倾斜角有关的条件)；所给的直线与圆锥曲线有两个交点。2、从代数角度看,可通过将表示直线的方程,代入圆锥曲线的方程消元后所得的情况来判断,但要注意的是:对于椭圆方程来讲,所得一元方程必是一元二次方程,而对双曲线方程来讲未必。22例如：将y=x+w代入二一二二1(O,b0)中整理得：(从一。“?)/一2。比一。262一。为2=。：a1b(1)当A=2时,该方程为一次方程,此时直线y=H+m与双曲线的渐近线平行；a(2)当k-

2、时,该方程为二次方程,这时可以用判别式来判断直线与双曲线的位置关系。a3、从几何角度看,可分为三类：无大众点,仅有一个大众点及两个相异的大众点,具体如下：(1)直线与圆锥曲线的相离关系,常通过求二次曲线上的点到己知直线的距离的最大值或最小值来解决；(2)直线与圆锥曲线仅有一个大众点,对于椭圆,表示直线与其相切；对于双曲线,表示与其相切或与双曲线的渐近线平行,对于抛物线,表示直线与其相切或直线与其对称轴平行；(3)直线与圆锥曲线有两个相异的大众点,表示直线与圆锥曲线相割,此时直线被圆锥曲线截得的线段称为圆锥曲线的弦。二、掌握基本知识K与一元二次方程0r2+Zx+c=O(tO)相关的知识(三个“二

3、次”问题)：(1)判别式：=Z2-4ac；bc(2)韦达定理：若此方程有两个不同的根X、/2，则$+%=一一,AT1X7=；aa(3)求根公式：若此方程有两个不同的根司、/，则再2=心主也二处。2、与直线相关知识：(1)直线方程的五种形式：一般式：Ar+e，+C=0；点斜式：y-%=左。-%)；斜截式：y=kx+bx=n+a；两点式：=；截距式：+=1.y2-yiah与直线相关的内容：倾斜角与斜率Z=tan,e0,)；点到直线的距离dAT+当0+。；A2+2（3）弦长公式：直线y=H+上任意两点A（X,y1）,B（x2,方），则:IB=(x1-x2)2(3,-J2)2=71+2x1-x2=V1

4、+2(x+x2)2-4x1x2=（4）两条直线小=用1+伪（倾斜角为。）和/2：y=%2X+3（倾斜角为）的位置关系:Z112kk2=-Qa-=-;/J4o4二质且伪工3=a=;九与关于与“（N）轴平行或垂直的直线对称,则占+&=a+B=兀。中点坐标公式：已知Aa1，%）、B（x2,为）两点，M（x，5）是线段AB的中点，则有X=3、圆锥曲线方程的形式:（1）椭圆（焦点在X轴上）：定义方程:(x+c)2+y2+y(x-c)2vy2=2a一般方程:参数方程:标准方程:y2=1(a0,b0)i标准方程:mx1+j2=1(W0,?0Kww)；x=acosQ5，(0为参数)。y=osn（2）双曲线（焦

5、点在X轴上）：定义方程：IJ（X+c）2+y2_J（xc）2+y2=2a一般方程：nr2+ny2=1(mn0)（3）抛物线方程的形式（焦点在X轴正半轴上）：标准方程：=2px（p0）;参数方程：=2，（f为参数）。y=2pf4、圆锥曲线的重要性质:通径：椭圆”二双曲线空,抛物线2；aa（2）焦点三角形公式:尸在椭圆上时：8S（。最大）=1-2e2,PF1MPF11=1+cosA,b2PF1I-IPF2Q=k(x-x)或y=Ax+f；或直线倾角是否可取0,当a=0时设直线方程为y=%，当a=0时设直线方程为X-N)=m(y-%)或x=m+r,其中m为斜率的导数；(2)联立直线与圆锥曲线的方程形成

6、关于X或y的一元二次方程：PX2+/+z=O或py2+qy+z=0,注意验证O；bc(3)设而不求：设两交点坐标A(X,y)、(x2,%)，则+x=-一、x=-：aa(4)根据题意进一步求解。模板一、圆锥曲线与直线222例1.椭圆G：+y2=1,椭圆G：+斗=1(aOO)的一个焦点坐标为(后0),斜率为1的直线/2ab与椭圆G相交于A、B两点,线段AB的中点H的坐标为(2,-1)o求椭圆G的方程；设P为椭圆C2上一点,点M、N在椭圆G上,且丽=而+2丽,则直线OM与直线ON的斜率之积是否为定值？若是,求出该定值；若不是,请说明理由。例1-2.己知定点C(-1,0)及椭圆f+3y2=5,过点C的

7、动直线与椭圆相交于A、B两点。(1)若线段A8中点的横坐标是-工,求直线A8的方程；2(2)在X轴上是否存在点M,使而莉为常数？若存在,求出点M的坐标；若不存在,请说明理由。模板二、弦长与三角形面积相关例2-1.已知椭圆C：三E=1(hO)的离心率为也,且经过点(3)。a-b322求椭圆。的方程。(2)过点P(0,2)的直线交椭圆C于A、8两点,求AOB(O为原点)面积的最大值。练习2-1.已知椭圆44=1的一个焦点为F(ZO),且离心率为。ab3(1)求椭圆方程。(2)过点M(3,0)且斜率为k的直线与椭圆交于AB两点,点AA关于X轴的对称点为。,求AMBC面积的最大值。模板三、角度的处理与

8、转化讲解：在圆锥曲线大题中出现垂直、直角、锐角、钝角等题设或者问题,一般都转化成向量:(1)AB,CD=AB-CD=O=x1+y1y2=；(2)ZABC=90o=ABBC=0=i+y1y2=O;(3) ZA8C为钝角=ZABC900=AB-BCO=x1a+yy2O；ZABC为锐角=ZABC)的离心率为oCT32(1)求椭圆C的方程；(2)若直线/经过C的左焦点K且与C相交于B、。两点,以线段8。为直径的圆经过椭圆C的右焦点F2,求/的方程。模板四、抛物线大题模板例4-1.在直角坐标系直刀中,直线/：y=f(fO)交X轴于点M,交抛物线C：V=2p(o)于点P,点M关于点P的对称点为N。连ON并

9、延长交C于H。(2)除“以外,直线M”与C是否有其他大众点？说明理由。例4-2.已知抛物线C：一二2)，(0),过其焦点作斜率为1的直线/交。于知、N两点,且IMNI=I6。(1)求抛物线C的方程：己知动圆P的圆心在抛物线C上,且过定点。(0,4),若动圆P与X轴交于A、B两点,且IDA10,b0)中整理得：(Z/。?)/一2。24优一。2加2一=。：ab(1)当A=2时,该方程为一次方程,此时直线y=H+?与双曲线的渐近线平行；a(2)当42时,该方程为二次方程,这时可以用判别式来判断直线与双曲线的位置关系。a3、从几何角度看,可分为三类：无大众点,仅有一个大众点及两个相异的大众点,具体如下

10、：(1)直线与圆锥曲线的相离关系,常通过求二次曲线上的点到已知直线的距离的最大值或最小值来解决；(2)直线与圆锥曲线仅有一个大众点,对于椭圆,表示直线与其相切；对于双曲线,表示与其相切或与双曲线的渐近线平行,对于抛物线,表示直线与其相切或直线与其对称轴平行；(3)直线与圆锥曲线有两个相异的大众点,表示直线与圆锥曲线相割,此时直线被圆锥曲线截得的线段称为圆锥曲线的弦。二、掌握基本知识1、与一元二次方程(ix2+bx+c=O(aO而关的知识(三个“二次”问题)：(1)判别式：=b2-4ac;bc(2)韦达定理：若此方程有两个不同的根的、,则为+X2=-Z,Q=Z;aa(3)求根公式：若此方程有两个

11、不同的根司、，则司2=心主”士。2、与直线相关知识：(1)直线方程的五种形式：一般式：Ar+C=O:点斜式：y-y0=-b);斜截式:y=kx+btx=my+a；两点式：=；截距式：+=1J2-JiSab与直线相关的内容：倾斜角与斜率=tan,eO,)；点到直线的距离d=IAT+。；A2+B2夹角公式：tana=|&oI+k1c2(3)弦长公式：直线y=丘+b上任意两点A(X1,y1)fB(x2为)，则：IABI=J(-S),+(M-%产=V1+2Ix1-x2I=V1+2(x+x2)2-xx2=J1+妥M-%I。(4)两条直线Ay=女/+4(倾斜角为a)和4：=a%+4(倾斜角为B)的位置关系：II1kC占也=ToIa-I=；1HI2%=后且4与=a=：4与4关于与X(y)轴平行或垂直的直线对称,则+2=0,a+=o(5)中点坐标公式：已知A(Xry)、8(x2,%)两点，M(x,y)是线段A3的中点，则有x=3、圆锥曲线方程的形式:标准方程:X2+a一般方程:参数方程:mx1+ny2=1(，0,O且切)；x=acos4、*/”.0(0为参数)。(2)双曲线(焦点在X轴上)：定义方程：IJa+cT+V-/(J1C)2+2I=24;标准方程: