专题10 圆锥曲线大题解题模板（解析版）.docx

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1、专题10圆锥曲线大题解题模板一、判断直线与圆锥曲线的位置关系：1、寻找主直线：主直线有两个要求：所给的直线条件中：有必过点(或者求证是否有必过点),给斜率或倾斜角(或者与斜率、倾斜角有关的条件)；所给的直线与圆锥曲线有两个交点。2、从代数角度看,可通过将表示直线的方程,代入圆锥曲线的方程消元后所得的情况来判断,但要注意的是:对于椭圆方程来讲,所得一元方程必是一元二次方程,而对双曲线方程来讲未必。22例如：将y=履代入=一与二1(0,bO)中整理得：(一。/?)/一2knr一一片从=0：(TZr(1)当&=2时,该方程为一次方程,此时直线)，=依+帆与双曲线的渐近线平行；a(2)当k-时,该方程

2、为二次方程,这时可以用判别式来判断直线与双曲线的位置关系。a3、从几何角度看,可分为三类：无大众点,仅有一个大众点及两个相异的大众点,具体如下：(1)直线与圆锥曲线的相离关系,常通过求二次曲线上的点到已知直线的距离的最大值或最小值来解决；(2)直线与圆锥曲线仅有一个大众点,对于椭圆,表示直线与其相切；对于双曲线,表示与其相切或与双曲线的渐近线平行,对于抛物线,表示直线与其相切或直线与其对称轴平行；(3)直线与圆锥曲线有两个相异的大众点,表示直线与圆锥曲线相割,此时直线被圆锥曲线截得的线段称为圆锥曲线的弦。二、掌握基本知识1、与一元二次方程Or2+法+c=0(0)相关的知识(三个“二次”问题判别

3、式：=b2-4acibc(2)韦达定理：若此方程有两个不同的根的、，则历+与=-X,%=2;aa(3)求根公式：若此方程有两个不同的根屑、=-C。2a2、与直线相关知识：(1)直线方程的五种形式：一般式：Ar+B)，+C=0；点斜式：y-%=%*-b);斜截式：y=kx+htx=my+a；两点式：=；截距式：-=1oJ2-一用ab与直线相关的内容：倾斜角与斜率Z=tan,O,)；点到直线的距离”=埋二处凶；A2+B2夹角公式：tana=|冬o1+kxk2(3)弦长公式：直线y=Ax+6上任意两点A(X,y),8(x2,%)，则：B=7(xi-x2)2(),i-J2)2=V1+/:2-x1-x2

4、1=J1+/.J(XI+工2尸一4为修=J+丧IM-%I。(4)两条直线y=%R+4(倾斜角为a)和U：y=Bx+b2(倾斜角为P)的位置关系：Tr1Z21=-1Ia-I=-；J4=4=&且4%Oa=;4与/2关于与双)，)轴平行或垂直的直线对称,则1+)12=0,a+=o(5)中点坐标公式：已知A(x1,%)、(x2,y2)两点，(x,y)是线段AB的中点，则有X=A+,V_)1+乃203、圆锥曲线方程的形式:(1)椭圆(焦点在X轴上)：定义方程:标准方程:一般方程:y(x+c)2+y2+y(x-c)2+y2=Ia；22y+p-=1(Z?0);nr2+=1(00且2)；T-/7o参数方程：.

5、一，.；(0为参数)。y=osn(2)双曲线(焦点在X轴上)：定义方程：M(X+C)?+/_J*_c)2+y2|=2；标准方程:当一斗=1(aO,b0)iab一般方程：mx2+ny2=(tnn0);参数方程：=2P(为参数)。J=2pz4、圆锥曲线的重要性质:2b22b2通径：椭圆2,双曲线丝,抛物线2p；aa(2)焦点三角形公式:P在椭圆上时：s(e)=-2e2,PF1PF21=,b2PF1PF20;bc(3)设而不求：设两交点坐标A(X,y1)(x2,%)，则+A=、xx2=;aa(4)根据题意进一步求解。模板一、圆锥曲线与直线222例1-1.椭圆G：y2=,椭圆c2：*=1(abO)的一

6、个焦点坐标为(后0),斜率为1的直线/与椭圆C2相交于A、B两点,线段AB的中点H的坐标为(2,-1)。(1)求椭圆G的方程；设P为椭圆G上一点,点M、N在椭圆G上，且OP=OM+2ON,则直线OM与直线ON的斜率之积是否为定值？若是,求出该定值；若不是,请说明理由。审题路线图：通过。、沙、c、e和必过点的相关关系及中点弦公式求出a、b、Cf写出方程；寻找主直线(没有)设点利用等量关系消元求出定值。规范解答：22【解析】椭圆。2：+今=1(abO)的一个焦点坐标为(右,0)厕c=6即有/一从=5，2222设A(X,凶)、B(X2，乃)，则-+=1+=1，abah两式相减：(再-芍)1+电)+(

7、凶一%)?+%)=0.ay=2.5=T,则G=正生=驾=1，22xx-x2a22由解得,=,b=1则椭圆G的方程为小3=1；(2)设P(X0,y0).Mixy力)，MX4，”)，则年+24=10芯+24=2*+2=2,-,A=+2,X由OP=QM+2。N可得：(/，%)=(再，当)+2(凡，”)，JO=3+2)2y=(为+24)2+2(y3+2%)2=君+4%Z+4x：+2y；+83J3+8y：=(W+2货)+4(知工4+2%$)+%君+2皿)=10+4(44+2%)=1。，/.x3x4+23y4=0.=-KPArawZv=-:，x3X422直线OM与直线ON的斜率之积为定值,口定值为-02构

8、建答题模板：第一步：寻找主直线,没有主直线的情况下设点、找等量关系、消元。第二步：通过计算(主要的方法有消元法、点差法、换元法)解出定值。第三步：反思回顾,查看关键点,易错点及解题规范。例12.已知定点C(TQ)及椭圆d+3y2=5,过点C的动直线与椭圆相交于A、B两点。(1)若线段AB中点的横坐标是-1求直线AB的方程；2(2)在X轴上是否存在点M,使忘赢为常数？若存在,求出点M的坐标；若不存在,请说明理由。审题路线图：设直线A3的方程y=%(x+1)f待定系数法求kf写出方程；设M存在即为(m,0)f求MAMBf在忘标为常数的条件下求相。规范解答：【解析】(I)依题意,直线AB的斜率存在,

9、设直线AB的方程为y=Ar(x+1),将y=左。+1)代入2+3/=5,消去y整理得(3k2+I)X2+6k2x+3严一5=O,=36k4-4(3+1)(3/-5)0,设4孙j1)5(x),%),则玉+=-77r3k+由线段A8中点的横坐标是-1得安殳=-77=-!，解得左=(可取)，223+123直线AB的方程为x+Qy+1=O或x5y+1=0;假设在X轴上存在点MQmO),使MAM3为常数。6*2弘25当直线AB与X轴不垂直时,由(I)知为+=_3/+，$x2=3.2+7.*.MAMB=(再一ni)(x2-+y.%=(Ai-+k2(x+IXx2+1)=(k2+1)x1x2+(k2-ni)(

10、xi+x2)+k2+m2.将玉+x2与3代入整理得：.7.4注意到M4MB是与女无关的常数,从而有6m+14=0,根=-,此时MAM8=-,39当直线AB与X轴垂直时,此时点A、8的坐标分别为(-1,言、(T，一百7 .4当加二一一时,也有MAM8=-8 97.综上,在X轴上存在定点f(-,0),使MAMB为常数。3构建答题模板：第一步：寻找主直线,根据模板进行解题。第二步：假设结论存在,以存在为条件,进行推理求解。第三步：明确规范表述结论。若能推出合理结果,经验证成立即可肯定正确：若推出矛盾,即否定假设。第四步：反思回顾,查看关键点,易错点及解题规范。如本题中第(1)问容易忽略0这一隐含条件

11、。第(2)问容易忽略直线AB与X轴垂直的情况。模板二、弦长与三角形面积相关例2.已知椭圆C：+E=1(b0)的离心率为g,且经过点()。a1b322求椭圆C的方程。过点尸(0,2)的直线交椭圆。于A、B两点,求AOB(O为原点)面积的最大值。审题路线图：设椭圆标准方程f根据4、b、c、e的关系列方程组解方程组写出方椭圆程；设直线点斜式方程f代入椭圆的标准方程f根据根与系数关系求与再32f根据图象求出关于SMoB的等式并用I为I表示f根据均值不等式求最值。规范解答：【解析】(1)由/二上忙=1得2=半，aa3a3由椭圆C经过点捐)得卷年=,2=1;2联立,解得b=1,。=百,椭圆C的方程是y+y

12、(2)由题意可知直线AB一定存在斜率,设其方程为y=h+2,y=kx+2V2,消去y得:+y=13(1+3)f+i2+9=0、则A=144-36(+3)0,得&2,设A(X,凹)、Bg,当)，则=j1r1+3-,21+3/SS8HSyOB-SAPCMI=5X2I玉-X2I=IX-21,(xi-x2)2=(xi+x2)2-4x1a=；3：=、设T-1=r(f0),36，(3/+4)21I3K1十3K1I3K)36,3639ry+2429ry+244当且仅当9/=3,即1=&时等号成立,此时公=N1,可取，t33此时OB面积取得最大值且o2构建答题模板：第一步：根据过定点和。、8、c、e的关系求圆

13、锥曲线方程。第二步：设直线方程并与曲线方程联立,根据根与系数关系求2+x2与8x2。第三步：根据图象分析所求图形的等量关系,并用均值不等式求最值。第四步：反思回顾,查看关键点,易错点及解题规范。如本题中第(1)问如不知道焦点位置应设圆锥曲线的一般方程。第(2)问应用换元可是计算更加简便,但要注意新元的范围。练习2-1.己知椭圆二+=1的一个焦点为尸(2,0),且离心率为oa-b3(1)求椭圆方程。(2)过点M(3,0)且斜率为A的直线与椭圆交于AB两点,点AA关于X轴的对称点为C,求AMBC面积的最大值。【解析】(I)依题意有c=2,e=g=YM可得/=6*2=2,故椭圆方程为三+二=1；a362直线/