专题09 空间向量与立体几何（同步练习）（理）（解析版）.docx

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1、专题09空间向量与立体几何（同步练习）一、空间向量基础知识1-1.对于任意空间向量Z=(如,%)I=S1也也)，给出下列三个命题：Z%o3=等=曾；若Z?1b2D3q=2=。3=1，则。为单位向量；Q1boq4+的为+%4=0。其中真命题的个数为()。A0B、1C、2D、3【参考答案】B【解析】4、与、:有可能有，例如=(UJ)、办=(0,0,0),则舒”,但不能推出=,错；hh2h3a】=W=%=1则IaI=J1,不是单位向量,错；4+024+a3Z=0,对；故选B。1-2.在四面体O-ABC中,G是A8C重心,G是OG上一点,且OG=3GG1,OG=xOA+yOB+zOC,则(丁/)为()

2、oa、444)b、a衿c、(11,1)d、444444333333【参考答案】A【解析】连接AG1交BC于点七,则E为5C中点,靛=g(Q+)=g(无一23+53).2.1.3则AG1=-AE=-(OB-2OA+OC)yOG=3GG1=3(OG1-OG),OG=IOG.333.1.2.191-*11.OG=-OG.=-(OA+AG1)=-(OA+-OBOA+-OC)=-OA+-OB+-OC.444333444故选Ao1-3.设q=2，一j+%,/=m+3/-2左，生=2/?+j3%,4=3机+2/+5%,(其中加、j、Z是两两垂直的单位向量),若为=入4+W+生，则实数九、MU的值分别是()。

3、A、1,-2,-3B、-2,1,-3C、-2,1,3D、-1,2,3【参考答案】B【解本斤】a4=(2w-J+)+(w3J-2)+(-2w+j-3k)=3m+2j+5k.即(2+-2)+(-+3)y+(-2-3)=3m+2j+5k.则=2,=1,=3,故选B。二、直线与直线成角2-1.如图所示,点P在正方形ABCD所在的平面外,RA_1平面A88,QA=AB,则异面直线与AC所成D、30【参考答案】B【解析】将其还原成正方体CD-PQRS,PBSCRSC=AC=SA=42a,则ACS为正三角形，如图,以A为坐标原点,直线AB、A则40,0,0)、P(0,0,2)8(4,0,0)、又。为PB中点

4、,则0(2Q1)故而=(-4,2,2),AD=(2,0,1),E、A尸为X轴、y轴、Z轴建立空间直角坐标系,C(4,-2,0),J/尸.,.s二至三一6二病ADCP52610设异面直线PC与AD所成的角为仇则8s=|cos|=上,故选C【解析】还原长方体,则PA/AZZP1f1Ttr1An臼；.1iH0=2皿ZZ以4,Dr1；DA/丽北日n7yEK在ISCPM中，PM=2AD=AN=PB=yAB?+PA2=42+22=20=25,2i/B*6c0卜2则AC与SC成角为60,即PB与AC成角为60,故选B。2-2.如图所示,在三棱锥P-ABC中，PA_1平面ABC,。是棱的中点，已知PA=BC=

5、2,AB=4,C3_1A3,则异面直线PC与A。所成角的余弦值为()。30d30A、Bs105r3030105【参考答案】C【解析】丁QAJ平面48CQA_1AB、PA1BC.过点A作AFC8,又CB_1A8、则AP、AB.RAE两两垂直，PC=AC2+PA2=yAB2+BC2+PA2=42+22+22=24=26,CM=MB1+BC2=42+22=20=25.CoSNCpMPC2+PM2-CM22PCPM24+20-2022625243083O0,故选C2-3.已知二面角-为60,A3ua,A3_1/,A为垂足,CDu,Cw/,NACD=I35,则异面直线AB与CO所成角的余弦值为()o【参

6、考答案】B【解析】在长方体中求解该问题.a平面为平面ABEEP平面为平面AgF,由于二面角a-为60,ZB1AB=ZEiFE=60,设边长A3=AF=2,则8片=26,设C为AF的中点,则FC=1ZACD=135ZDCF=45oDF=1,在RgFG中、OG=立,尸G=1建系,则C(2,1,0).D(-,0,-),2222k13,CD=(-,-1,),BA=(2,0,0),则异面直线AB1:jCo所成角的余弦值为cos=学.吧=巫,故选B”CDBA4三、直线与平面成角3-1.如图,在长方体ABCD-AiB1C1D1中,AB=I,BC=3,M在棱CC1上,且MD11MA,则AMAD1的面积的最小值

7、为,此时棱CG与平面MAR所成角的正弦值为。【参考答案】,23【解析】如图建系,则A(5,0,0)ZXO,O,O).设用(OJJ)、A(OQZ),则zfO,MD1=(0,-1,z-t)1AM=(-3,1),/D1M4,w=-1+r(z-0=0.1I1r,即=万|MAHAMI=M44M=gX712+(3)2+X712+(z-Z)2D1的面积的最小值为1,当且仅当，=I、Z=当时取等号，此时,CG=z=，G(0，1，乎)，M(0,12),D1(0,0,乎),AMD1=(0,一1,冬丽=(-3,0,y-)CC=(0,0,芈).设平面M4Q的法向量为7=(xQ,z),直线CG与平面AR所成角的平面角为

8、仇后n八MD1=。则!,即nAD1=0-yi+z1=021,取z=I,则Jq=J,y=1,7=(6,1,行)，a32_n-3x1+zi=0一133：Sin=I8S1=一尸=ox3777232四、平面与平面成角4-1.如图所示，尸是二面角a-AB-B棱上的一点，分别在、B平面内引射线PM、PN,如果/BPM=NBPN=45,NMPM=60,那么二面角a-AB-B的大小为()。A、60B、70C、80D、90【参考答案】D【解析】过AB上点Q分别在a、内做AB的垂线,交PM、PN于点、M、N,则NMQN即为二面角a-AB-P的平面角,如下图所示：设PQ=QZQPN=ZQPM=45,：.QN=QM=

9、a、PN=PM=叵a,又VZMPN=60,MPN为等边三角形,则MN=6a,解AMQN易得NMQN=90,故选D。4-2.已知经过点P(XQ1,Z1),法向量为工=(A反。的平面方程为A(x-N)+8(y-M)+C(Z-ZI)=O,现给出平面a的方程为x+z=1,平面B的方程为=则平面。、B成角的余弦值为()。636a1B忘c2D矩9333【参考答案】B【解析】平面过点P(O,O,1),则平面a的方程为(X-O)-(y-0)+(Z-I)=0,其法向量为m=(1,-1,1),=1=x-2y-z=6,636平面过点(0,0,-6),则平面a的方程为(x-0)-2(y-0)-(z+6)=0,其法向量

10、为7=(1,-2,-1),一一mn1+212V2cos=-7=-7=9rnnJ3xj6323设平面a、成角的平面角为.则8S。=|8SVm,n|=4,故选BC五、空间距离5-1.已知在棱长均为2的正三棱柱AeC-13G中,点D为B1C1的中点,若在棱AB上存在一点P,使得Bf/平面ACO,则的长度为()。A、2Bs5Cs6D、3【参考答案】Br【解析】如图,设点P为AB的中点,取A冉的中点。.连接AQ.DQ、jr则BP/AQ,又AQU平面AQDf:.B1P平面AQD./f/易知AC7/OQ,故平面AQD与平面ACo是同一个平面，1B1P/平面ACD此时B1P=5,故选Boj六二Z5-2.已知在正四棱柱ABCD-4月GA中AB=2,CeT=26，E为CC1的中点,则直线AC1与平面5ED的距离为()。A、12C3D、2【参考答案】D【解析】连接AC交3D0,连结OE,由题意得4CJ/OE,AGH平面BED直线AC1到平面BED的距离等广点A到平面B皮的距离,也等于点C到平面BED的距离，作S_1oE于、OC=AC=后.2CE=BCG=后，则H为OE中点，CH=-OE=I为所求,故选Do2