初中论证几何教学的基本策略.docx

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1、初中论证几何教学的根本策略金晔随着素质教育的深入与课程改革的实施，初中几何课程发生了很大的变化。从其内容呈现的结构上看，新课程将初中几何内容分为图形认识、图形与变换、图形与坐标、图形与证明四大模块；从其研究方法上看，新课程将初中几何分为实验几何与论证几何。新课程实施以来，对于几何课程结构、教学内容、研究方式，多数教师经历了由误解到理解、由陌生到熟悉、由不适应到逐渐适应的过程。到目前为止，应该说多数教师对新课程中几何教学的新理念、新要求、新方法都能够很好地理解和运用；然而，不容无视的问题是，局部教师对论证几何教学认识缺乏、重视不够，还有局部教师对论证几何教学的方式、方法运用不当，影响了课堂教学效

2、果，制约了学生逻辑推理能力的开展，影响了学生的后续学习。虽然新课程中对论证几何的内容进行了调整，难度要求降低，证明技巧淡化，但对几何教学的最根本能力要求并没有降低。？数学课程标准？中明确指出：在“图形与几何的教学中，应帮助学生建立空间观念，注重培养学生的几何直观与推理能力。为了更好地落实新课程的目标、培养学生的推理能力、发挥几何教学在数学教育中的作用，笔者对论证几何教学进行了较深入的思考，并结合自己的教学实践，总结、提炼、概括出论证几何教学的一些根本策略。一、文字语言符号化所谓文字语言符号化就是将文字语言向符号语言转化。几何教学有三种不同形式的语言，即图形语言、文字语言和符号语言。教学中不仅要

3、让学生掌握这三种语言，还要培养学生对三种语言互相转化的能力。由于这三种语言的特点不同，在几何教学中各自发挥的作用也不同。图形语言形象、直观，能帮助学生认识问题和理解问题；文字语言抽象、概括，对图形本身及图形中所蕴含的关系能予以精确地描述和解释，对几何的定义、公理、定理、命题等内容能予以精确地表达；而符号语言那么是对文字语言的简化和再次抽象，具有更强的抽象性。在三种语言中符号语言是几何初学者最难掌握的一种，也是逻辑推理必备的能力根底。目前，对于初中阶段推理能力的培养要求是循序渐进的，由开始的“说明理由到“说理“简单推理，到最后的“符号表示推理，为了让学生更好地掌握“符号表示推理，教师在教学过程中

4、应不失时机地引导他们将定义、公理、定理、命题等文字语言转化为符号语言，培养学生文字语言符号化的意识，训练学生文字语言符号化的能力，只有这样才能为论证几何的后续学习建立良好的根底。二、条件图形化所谓条件图形化就是用各种不同的符号将条件在图形中直观地表示出来。在几何教学中，虽然注重了图形语言、文字语言及符号语言间的转化训练，但学生在解决问题时仍然存在题、图分家现象，特别是处理较为复杂的问题时学生“看图忘条件这种现象表现得更为突出。为了让学生能很好地将题和图有机统一，教学中可采用各种不同的符号将条件在图形中表示出来，使条件更直观，实现条件与图形的有机融合，从而克服“看图忘条件的现象发生。例1如图1,

5、点E,F在BC上,BE=CF,AB=DC,ZB=ZCo求证：ZA=ZDo图1图2可将条件图形化，如图2所示。通常相等的线段可以分别用一杠、两杠、三杠等记号对应表示出来，相等的角可以分别用点、叉、弧等记号对应表示出来，两直线平行可以用同向箭头对应表示出来，两直线互相垂直可以用直角符号对应表示出来，等等。教学中可以用特有的记号将条件在图形中直观地表示出来，不仅起到使条件直观的作用，同时也起到暗示提醒的作用，有利于问题的有效解决。三、分析过程综合化所谓分析过程综合化就是指分析问题时从出发，结论入手，结合图形进行问题解决。在几何论证问题的分析过程中，通常使用两种逻辑思维方法，即综合法和分析法。所谓综合

6、法是指从问题的条件出发，寻求其结论的方法。综合法的特点是从看可知，逐步推出未知。所谓分析法是指从问题的结论出发，寻求其成立条件的方法。分析法的特点是从未知看需知，逐步靠近。对于一些思维过程比拟简单的问题，采用分析法或综合法都可以顺利解决问题，但对于思维过程相对复杂的问题，单一地使用其中的一种方法都显得无能为力，只有将二者结合起来，从出发，从结论入手，结合图形，寻找出解决问题的一个接洽点，进而到达解决问题的目的。例2如图3,分别以aABC的边AB,AC为直角边向AABC外部作等腰直角三角形4BDA和ACEA,点P,M,N分别为BC,BD,EC的中点。图3求证：PM=PNo如果从条件“ABDA和A

7、CEA是等腰直角三角形出发就可以直接得到结论：AB=AD,AC=AE及NBAD=NCAE=90?/SPAN,再根据已有的解题经验，又显而易见aADC也ZiABE,从而可以得到AADC和aABE的对应边相等、对应角相等。这道题如果从结论PM=PN入手，实际上，就是从未知看需知。由于PM和PN分别是BDC和CBE的中位线，所以只需证CD=BE即可。从条件出发我们可以得到CD=BE,从结论入手我们需要CD=BE,这样我们就找到了思维结点，使这个问题得到顺利解决。在分析问题时，采用分析过程综合化的策略，不仅可以使学生掌握数学根本的思维方法，同时培养了学生的思维能力，提高了学生解决问题的水平。四、解题方

8、法多样化所谓解题方法多样化是指在同一问题的解决过程中，鼓励学生进行独立思考，用适合自己且科学合理的方法解决问题，从而在群体中尽可能出现多样化的问题解决方法。在长期教学实践中，多数教师比拟重视一题多法，让每一名学生获得多种解决问题的方法，但解题方法多样化与一题多法是有所不同的。解题方法多样化主要是关注学生个体的独立思考过程，关注学生群体的解题方法多样，解题方法多样化要尽可能地保证学生独立思考的质量。首先，要保证学生独立思考的时间，有了充分的时间，学生的思维才能充分活动起来，进而对有用信息进行分析、综合和科学加工，这样学生的独立思考才能有相应的思考结果。其次，要保证在有限的课堂时间内学生的思维得到

9、较大的开展，教师就应给学生搭建合作、研讨、交流的平台和空间，开拓学生的思维路径，获得多种解决问题的思路和方案，提高学生的思维能力，进而提高思维水平。在几何教学中，存在大量的素材可以实现解题方法多样化，这里就不再举例。总之，解题方法多样化策略有利于学生个体思维能力的开展，有利于学生创新意识的形成；同时，解题方法多样化策略也有利于转变教师的教学方式，开阔教师的视野，丰富教师的教学经验，实现教学相长的良性效果。五、复杂图形根本化所谓复杂图形根本化就是将复杂的几何图形转化为一些根本图形。几何教学离不开几何图形，几何问题中所涉及的几何图形有根本图形和复杂图形，而这些复杂图形又都是由一些根本图形复合而成。

10、不管遇到什么样的复杂几何问题，只要能够善于发现根本图形，并熟练掌握这些根本图形的构成、形式及其性质，就能使模糊问题清晰化、复杂问题简单化。几何中每个定义、定理、公理都对应着一个根本图形，除了掌握这些最根本的图形外，还要掌握定义、定理、公理之外的常用图形，如图4中的根本图形a、根本图形b、根本图形c、根本图形d。图5包含了根本图形a,图6包含了根本图形b,图7包含了根本图形c,图8包含了根本图形d。图4图5图6图7图8当然，还有很多根本图形，在此不一一例举。利用这些根本图形及其性质能比拟有效地解决一些复杂问题，采用复杂图形根本化的策略，一般都会取得事半功倍的效果。六、图形变换手段化所谓图形变换手

11、段化就是将图形变换作为探索解题思路、发现解题方法的一种手段。新课程下的初中数学增加了图形变换的内容，特别是平移、旋转和轴对称三种全等变换为学生解决几何问题翻开了一扇找到解题思路和方法的窗户。平移、旋转和轴对称三种变换的共同特点是改变图形位置的同时，保证图形变换前后的对应元素的大小不发生变化。平移能够将图形的各元素沿着某一方向平行移动，旋转能够将图形的各元素绕着某一点沿着顺时针或逆时针的方向转动，轴对称能够将图形的各元素沿着某条直线翻转180?/SPAN。平移、旋转和轴对称三种变换在几何问题中各自发挥不同的作用。例3如图9所示，在正方形ABCD中，E在Be边上移动，NEAF=45?/SPAN,A

12、F交CD于F,连接EF。求证：EF=BE+DF。图9这道题对大多数学生来说解决起来是比拟困难的，因为需要添加辅助线。如何添加辅助线是几何教学的难点，要证EF=BE+DF,就需要将分散的线段BE,DF集中到一起，如果恰当地运用旋转变换，将AADF绕点A顺时针旋转90?/SPAN,如图10所示，就可将BE和DF转化到同一直线上，得到线段BE与DF的和，进而将三条线段EF,BE,DF构造到一对全等三角形中。于是就轻而易举地得到如下辅助线引法和证明思路：延长CB到M,使BM=DF,连接AM,如图11,可得ME=BE+DF,于是只要证明AAEM也4AEF,问题就迎刃而解了。图10图11可见，将图形变换作

13、为探索解题思路、发现解题方法的一种手段是论证几何教与学的重要策略之一，把握好平移、旋转和轴对称的特征，恰当地利用平移、旋转和轴对称变换能大大提高学生解题的能力，有利于学生空间想象力的形成与开展。七、问题设计开放化所谓问题设计开放化就是改变常规封闭问题的呈现形式，不直接给出问题的结论或使问题的条件不完备，问题的结论由学生设计或问题的条件由学生探究完成。问题设计开放化表达了新课程理念，表达了教师以学生为中心的教学观。教师要注意开放度，既要大胆地“放，把时间留给学生，让学生有时机去尝试问题设计，又要善于把握全局，但凡学生能提的问题，教师决不代替；但凡学生能思考的问题，教师决不暗示；但凡学生能解决的问

14、题，教师决不插手，真正做到适时而“放，提高“放的整体效率。问题的设计开放化可以增强学生学习的内驱力，有效地激发学生敢于思考问题、主动参与知识的建构过程，有利于激发学生的好奇心和求知欲；问题设计开放化可以改变原有的封闭思维模式，促进学生思维的开展。例4如图12,P为RtaABC所在平面内一点（不在直线AC上）,NACB=90?/SPAN,M为AB边中点。操作：以PA,PC为邻边作平行四边形PADC,连接PM并延长到点E,使ME=PM,连接DE。图12探究：请猜测与线段DE有关的三个结论，并给予证明。此题将问题设计的时机留给学生，让学生展开合理的联想，并根据自己的认知起点和学习经验，从多角度、多方

15、位、多层次进行思考，既表达了学生的个性化学习，又表达了学生之间的合作学习，有利于学生良好思维品质的形成。八、问题结论推广化所谓问题结论推广化就是将某些特殊条件下成立的结论，推广为一般条件下成立的结论。在问题结论推广化的过程中，不仅教给学生归纳推理、类比推理的方法，还要向学生渗透由特殊到一般的思想。在问题结论推广的过程中，教师要防止越俎代庖的现象发生，应尽力让学生经历归纳和类比、猜测和发现、探索和证明等过程，让学生成为问题推广的真正主体，让学生体会到有许多变化的条件和图形中往往蕴含着恒定不变的几何规律。在问题推广的学习过程中，往往学生收获的不仅仅是学会一个问题，而是学会一类问题，这样学生就可以跳

16、出题海，提高学习效率，从而减轻学生的学习负担。例5如图13(1)、13(2)、13(m)是边长均大于2的三角形、四边形凸n边形。分别以它们的各顶点为圆心，以1为半径画弧与两邻边相交，得到3条弧、4条弧n条弧。(1)图13(1)中3条弧的弧长的和为,图13中4条弧的弧长的和为;(2)求13(m)中n条弧的弧长的和(用n表示)。图13问题结论推广的例子很多，教师在平时教学中应反复去引导学生进行联想、类比、探索、发现、证明，让学生逐渐形成问题结论推广的意识(当然，不是所有的问题都能推广)。掌握问题结论推广化策略将有助于学生发现规律，提高学习效率，形成创新意识，提高创新能力。总之，论证几何是几何教学的核心，也是几何教学的难点，只有采取有效的教学策略，才能提高论证几何教与学的效率，才能提高学生的逻辑思维能力。