从一道模拟题 看平面向量的复习公开课.docx

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1、从一道模拟题看平面向量的复习向量是既有大小又有方向的量，它兼有代数和几何的一些特点，因而平面向量是联系代数、几何、三角的重要工具，是高中数学中数形结合思想的典型体现。平面向量作为高考必考内容之一，试题呈现小巧灵活的特征，考查形式主要以选择题、填空题等小题出现。平面向量内容主要涉及平面向量的夹角及模长、线性运算、数量积、坐标运算、两向量平行与垂直等。因此，我们研究向量时，可以从“数”的角度与代数知识相联系，可以从“形”的角度与几何知识相结合。我们自然希望，找到一个例子，复习平面向量的知识，并尽可能全面揭示平面向量解决问题的基本思路。题目给定两个长度为1的平面向量OA和。8,它们的夹角为O如图所示

2、，点C在以。为圆心的AB上运动，若3OC=xOA+yOB,其中,yR,求x+y最大值。思路1：从平面向量的坐标运算来看。根据已知条件和所求结论，在直角坐标系中恰当的表示出来，这样就将向量运算完全代数化，可使许多几何问题转化为学生熟悉的有明确关系的代数运算，从而降低问题的难度，它是处理向量最值问题常用的方法，体现了转化与化归思想、函数与方程数学思想。以。为坐标原点，OA所在直线为X轴，建立如下平面直角坐标系，则OA=(1O),OB=OC=xOA+yOB1cosa=Xy2.3sina=y2-设ZAOC=a0OC=(COSa,sin)，由1X=COSa+Smay=2S1na3x+y=2sina+yj

3、08两边分别乘以向量。4,。8,OBOC=xOAOB+yOB思路5：从平面向量加法的运算来看。联想到向量加法法则，/)过作图，运用正弦定理来解三角形，充分体现了向量的几何特y设NAOC=a(K),如图，过点。作COB交。4于点O,OC=OD+DC,又因为OC=XQA+)。3,则Ioq=冗，IocI=y,在AO。C中，由正弦定理得1=一一=J21,+y=J=Sin(120-)+-=sina,Sinasin(120-a)sin603vf3x+y=2sina+2o思路6：从平面向量的基本定理来看。如图所示，连接AB交OC于点。，设OC二相。，OD=OA+OB,因为A、B、。三点共线，所以丸+=1,为

4、OC=WoO,IOq=1,0D,要使加最大，必有|。4最短，即ODJ易又Oe=XoA+y08,所以X=z4,y，x-y=m-m=m-vj=tn又因知QD1n=；，故x+y最大值为2。以上几种解法几乎涉及到高中的一半内容,从这一角度,这是一道复习知识和方法好题。本题素材平朴，但求解的过程却是精彩纷呈，是难得一道好题。综上所述，平面向量的复习要特别关注两个方面的内容：一是要注重对基础知识、基本方法的复习。如向量线性运算的法则、向量的数量积的公式；二是要加强平面向量工具性的使用。建立向量运算与几何图形之间的关系，把对图形的研究推进到运算的水平，向量运算的应用把向量与几何、代数有机地联系在一起，所以平面向量素有“与立体几何联姻，与代数牵手，与解析几何交汇”之美称。正是由于其兼具“数”“形”的“双重双份”加之解法灵活多样，变化多端，备受高考命题者的青睐。