第7节综合法求空间角与距离.docx

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1、第7节综合法求空间角与距离知识梳理1设,。是两条异面直线，经过空间任一点。作直线4,b/bf把与所成的锐角(或直角)叫做异面直线。与人所成的角(或夹角);(0o,902 .(1)直线平行于平面或直线在平面内则直线与平面所成角为0。；(2)直线垂直于平面时直线与平面所成角为90(3)平面的一条斜线和它在平面上的射影所成角，叫做这条直线与这个平面所成角；(0。,90。)3 .在二面角的棱上任取一点。，以。为垂足，在半平面和夕内分别作垂直于棱/的射线。4和08,则射线QA和08构成的NAOB叫做二面角的平面角，0。,1804 .过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的

2、垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离.5.一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离5 .如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离相等，我们把它叫做两平行平面的距离.基础自测1(1)(2)(3)(4)X,2.C；3.A；4.。；5.86考点聚焦突破例题卜1解(1)过点A作直线平行与/，过点C作直线垂直于/设两直线交于c点，连接BC-CCBC11f.N8CC为二面角的平面角AJO_1Z,CC_1Z,CdUB,ADuCCad又AC/CD:.ADCC为平行四边形CD1AD,CCHAD:.CD1CCCDAC:.AC1BC,.AC1CCCBCC=C.AC

3、平面BCC,.AC1BCVADCC为平行四边形.AC=CD=1/AB=2.BC=1/CC*=1=BC.ABCC为正三角形，.NBCC为60。(2)由(1)知N3CC=6O。，又C8=CC=1.8C=1.43=收NBAC为异面直线AB与CO所成角。/8AC=45。.异面直线AB与CD所成角为45。(3)作81CCVAC1平面BCCfACU平面/.平面BCC1,平面BCCC=CC8u平面5CC1S.44H为直线A8与平面夕所成角【例1-2解过点P作a/_1平面ABC交平面ABC于点”，过点H作“OJ_AC交AC于D点,过点”作“EJ.8C交BC于七点，连接PD,PE.AC1DH,PH1AC:.AC

4、J1平面PDH,AC1PD,同理可证BCPE在?TAH)C中，CP=2,NPCD=45o：.CD=g,同理可得CE=I.N8H+NS/=90二.四点8HE共圆，CH为此圆直径。/由余弦定理得DE2=CD2+CE2-2CDCEcos60o=3-2,.DE=3-2/%由正弦定理得一比=2R=S=J37隹=2)9-3后-taPH=PC2-CH1=4-(9-32)=|7/2【训练1】C如图，作。E_13。于E,由-/一/为直二面角，AC_1/得ACj_平面尸，所以AC_1OE,又BC1DE,BCAC=Cf于是。EJ_平面ABC,故DE为。到平面ABC的距离。在RBCf)中，利用等面积法得DE=BDXD

5、C=1注=.一【例2-1解(1)AA平面ABC,ADi平面MCC，故平面AAeC八平面/0，ABC.又BCAACt4。人平面叫CC.连结A。，侧面Ge为菱形，故AGAAc，由三垂线定理得AC1AiBi(2)BC平面GC,BCi平面BCG4，故平面AAICCA平面BCG片.作AEACG，石为垂足，则AEA平面BCG4.又直线M平面8CC蜴，因而AE为直线用与平面BCCM的距离，AE=6.AC为BACG的角平分线，故AD=AE=G.作。尸人A8,尸为垂足，连结4尸，由三垂线定理得AFA8,故DAFD为二面角A-AB-C的平面角.由3阿R=I得。为AC的中点，叩,*翡厉.FiMA1ABC的正切值为J

6、i?.A#r/二7(3)法一：由(2)知ZAIAC=60。，为力=6，AC=2Scb=1席极/-v-abc=4BCA平面ACC,.8C1AC,BC_1AC.A8=,A8=JJ.AA=2等腰三角形朋为底边上的高为2.SMA8=2,设点C到平面BAA的距离为力，则v1v3.z3vC-AA1B=3,2/?=vAy-ABC=VCC1/平面A1ABB1,CC1到平面BAA的距离为旦2法二：过点C作平面A1A8向的垂线，垂足为“，过点D作直线A1F的垂线，垂足为修AB1DFyAB1AxF.，平面白。产ABU平面4A44平面A48与，平面修。,又平面NAABiD平面4。F=A/.。1J平面AIABB:.CH

7、UDH1:.CH与DH1确定平面ACH,.)是AC中点:.CH=2DHx在直角三角形ABC中SinNBCA=J=,在直角三角形ADF中5DF4sinZBCA=-=-=DF,在直角三角形白。尸中AiF=-=由等积法可得5D5.1j石厂IJ石【训练2】证明(1).平面E4)_1平面ABa)平面%。门平面/38=4)8U平面ABSCD1ADy9,CD平面Az)AAMU平面AZ)P.CO_1AM又因为PD为正三角形，M为PD中点,.AMPDf又.。口尸。=。.皿/_1平面尸。PCU平面PCD.AM_1PC(2)解过点尸作物垂直AD于H,过作“E垂直BC于E点，连在:.平面R1Dj平面ACD平面EAZ)

8、平面ABCf=AD/7/u平面R1D,，PH1AD:.PH平面ABCDBCU平面ABCZ).PJ_BC又因为HEX.BC,HEP=.BC平面PHE:.BCPE/.NPEF为二面角2-6C-A的平面角。.HEHCD,CE/DH/.四边形CDIIE为平行四边形.HE=CD,设HE=CD=a,:.PH=a,:.PE=a:.cosPEH=227【例2-2解（1）过点P作PJ.4）垂足为“，因为侧面皿为等边三角形，所以点H为AD中点，连接CH,因为ADUBCtAH=8C所以ABCH为平行四边形所以CAB,又C2平面PAB,ABu平面PAB,所以CPH平面R4,所以点C到面PAB的距离为H点到面PAB的距

9、离.过点作HHAP于点H1,因为侧面PAD垂直于底面ABCD,面RV）C面ABCD=AD,AB_1AD,ABu面ABa）所以的_1_平面0,又因为功U平面RV）所以AB_1HH.又因为APnAA=A所以H_1平面RAB,因为4/=1NAW=60。所以HH1=立即点C到平面ABP的距离为Bo22（2）由（1）知M在底面ABa上的射影N在C”上，因为AD=2,则P=J,CH=AB=I所以NPCH=60。，由直线8M与底面ABa）所成角为45。，可得：BN=MN,CN=-MN,BC=I,可得：1+-BN2=BN2,BN=&=MN,332作NQAB于Q,连接M2，所以NMQN就是二面角M-AB-。的平

10、面角，MQ=M件）2=*,二面角MA5。的余弦值为手。【训练3】解：（1）过E作即8交BC于F点，连接A尸则NAfF为异面直线AE与CD所成角.设8E=xXe（0,2）因为MCD为正三角形，所以ffiF为正三角形，则肝=所=x,在A所中，AF=7AB2+BF2-2ABFs60o=7x2-2x+4同理AE=AF,则XCoSZA痔=工-=/X=旦，解得X=I=郎，所以上为BD中点。AF2x2-2x46（2）过点。作面ABC的垂线,垂足为。，连接BO,过点E作面ABC的垂线，则垂足在线段80上.设正四面体的边长为2,则Bo=述，又因为%=2所以0O=&四所以33EH=也又因为AE=6所以Sine=立33【例3-1】D第类：通过点A位于三条棱之间的直线有条体对角线AG.第二类:每条棱的外角和另2条棱夹角相等，有3条，合计4条。【例3-2解由对称性结合具体几何体计数，该半正多面体共有8+8+8+2=26个面，设其棱长为,由平行与上下面的一截面截此几何体得到正8边形，则变走22解得a=/21-【训练4】B把MN平移到平面ABCD中，直线DF与MN所成角为O,直线D1P与MN所成角的最小值是直线DF与平面ABCD所成角，即原问题转化为：直线DF与平面ABCD所成角为?，点P在平面ABCD的投影为圆的一部分，因为点P是AACD内的动点（不包括边界），所以点P的轨迹是椭圆的一部分.故选B.