初二平行四边形的性质和判定知识点整理.docx

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1、初二平行四边形的性质和判定专题基础知识基本技能1 .平行四边形的定义(1)定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.平行四边形的定义有两层意思：是四边形；两组对边分别平行.这两个条件缺一不可.表示方法:平行四边形用符号unn表示.平行四边形ABCD记作5ABCET,读作“平行四边形力BCzT.(3)平行四边形的基本元素：边、角、对角线.直平行四边形的定义的作用：平行四边形的定义既是性质，又是判定方法.由定义可知平行四边形的两组对边分别平行；由定义可知只要四边形中有两组对边分别平行，则这个四边形就是平行四边形.【例1】对于平行四边形/38,5。与8。相交于点O,下列说法正确的是().A.平行

2、四边形力BC。表示为“口ACDmB.平行四边形/GCO表示为“ABCETC.ADIIBC9ABIICDD.对角线为/C,BO解析：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可知平行四边形的两组对边平行，故选C.答案：C2 .平行四边形的性质(1)平行四边形的对边平行且相等.例如：如图所示，在CABCD中，abAcdyADiBc.规律由上述性质可得，夹在两条平行线间的平行线段相等.如图2,直线hI112.AB,8是夹在直线11,心间的平行线段，则四边形是平行四边形，故abJ1cd.(2)平行四边形的对角相等，邻角互补.例如：如图所示，在ABCD中,/_ABC=ACDAyZBAD=ZBCD.ZABC-

3、VZBAD=180o,ZABC+ZBCD=80,BCD+/_CDA=ISOo,ZBAD+NCZM=180.(3)平行四边形的对角线互相平分.例如：如图所示，在CABCD中，OA=OC9OB=OD.ADOB图“AD(4)经过平行四边形对角线的交点的直线被对边截得的两条线段相等，并且该直线平分平行四边形的面积.例如：如图所示，在CABCD中,跖经过对角线的交点与4。和8。分别交于点区F,则OE-OF9且S四边形ABFE-S四边形EFCD-例21UB8的周长为30cm,它的对角线/。和由交于O,且AZO夕的周长比ABOC的周长大5cm,求力B,4D的长.。C0aB分析：依题意画出图形，如图，4/IO

4、B的周长比43OC的周长大5cm,即AO-AB-BO-(BO-OC+BC=5(cm).因为。4=OG03为公共边，所以/B-BC=5(Cm).30由AB+BC=-=15(Cm)可求AB9BC,再由平行四边形的对边相等得AD的长.解：,4月06的周长比430。的周长大5。111,.AO+AB+BO-BO-OC+BO=5(cm).Y四边形4S8是平行四边形，.AO=OCy.*.ABBC=5(cm).厂MBe。的周长为30cm,AB-BC=15(cm).,AB=10cm,AD=BC=5cm.3 .平行四边形的判定方法一：(定义判定法)两组对边分别平行的四边形叫做平行四边平行四边形的定义是判定平行四边

5、形的根本方法，也是其他判定方法的基础.关于边、角、对角线方面还有以下判定定理.(2)方法二：两组对边分别相等的四边形是平行四边形.如图，连接BD,由AD=BC,AB=CDy可证明XABDXCDB,所以ZCDB=ZABD,ZCBD=ZADB,从而得到ABWCD,力。/8C由定义得到四边形为平行四边形.其推理形式为：YAB=DC,AD=BC9 四边形ABCD是平行四边形.方法三：两组对角分别相等的四边形是平行四边形.如图，由N4=NG(B=1D,Z1+ZF+ZC+ZZ360o,可得NE+NC=180,Z+Z=180o.从而得到ZB/DC,ADIIBC.由定义得到四边形月为平行四边形，其推理形式为：

6、VZ1=ZC,b=d9 四边形ABCD是平行四边形.方法四：对角线互相平分的四边形是平行四边形.其推理形式为：如图，CM=OGOB=ODyOAB 四边形ABCD是平行四边形.方法五：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.其推理形式为：如图，：ADI1BC9AD=BC9 四边形力B8是平行四边形.，直判定方法可作为“画平行四边形”的依据；（2）一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形.【例3】已知，如图，在四边形468中，与相交于点。，ABIICD94O=C。.四边形468是平行四边形，请说明理由.4D0BC解：因为AB11CD,所以NA4O=NQC4又因为40=CO,ZAOB=

7、ZCOd9所以4Z6MZ8O.所以BO=DO.所以四边形是平行四边形.4 .三角形的中位线（1）定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.（2卜性质：三角形两边中点连线平行于第三边，并且等于第三边的一半.镁区（1）一个三角形有三条中位线，每条中位线与第三边都有相应的位置关系和数量关系；（2）三角形的中位线不同于三角形的中线，三角形的中位线是连接两边中点的线段，而三角形的中线是连接三角形一边的中点和这边所对顶点的线段.【例4】如图所示，在ASGC中，点。，E,尸分别是AS,BC,CA的中点，若A5C的周长为IOCm,则加：尸的周长是cm.解析：由三角形的.中位线性质得,DF=-BC,EF

8、=-AB9DE=AC,/NN所以。斯的周长=JX1O=5(Cm).答案：55 .两条平行线间的距离定义：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一直线的距离，叫做这两条平行线间的距离.如图所示，aby点/在直线a上，过5点作4C1b,垂足为G则线段/C的长是点/到直线b的距离，也是两条平行线ab之间的距离.规律(1)如图，过直线a上点B作BO1b,垂足为。，则线段8。的长也是两条平行线a,b之间的距离.于是由平行四边形的性质可知平行线的又一个性质：平行线间的距离处处相等.(2)两条平行线之间的距离是指垂线段的长度，当两条平行线的位置确定时，它们之间的距离也随之确定，它不随垂线段的位置的改变而改变，

9、是一个定值.【例5】如图所示，如果人/，则44SO的面积与。8C的面积相等吗？由此你还能得出哪些结论？解：月BC的面积与AOBC的面积相等.因为71/,所以它们之间的距离是一个定值.所以44SC与4O3C是同底等高的两个三角形.所以Snbc=SXDBC结论：/上任意一点与石，C连接，构成三角形的面积都等于力的面积，这样的三角形有无数个.基本方法M本能力6 .平行四边形性质的应用平行四边形性质的应用非常广泛，可以利用它说明线段相等、证明线段平行、求角的度数、求线段的长度、求图形的周长、求图形的面积等.对平行四边形的性质、平行线的性质、勾股定理、含30角的直角三角形、三角形的面积、三角形的内角和定

10、理等知识点的理解和掌握，是解决此类问题的关键.【例6】如图，C438的对角线相交于点。，过。作直线跳；并与线段月石，8的反向延长线交于石，F,OE与。户是否相等，阐述你的理由.D0EAB解：OE与。尸相等.理由：四边形力88是平行四边形，BEHDF,OB=OD9ZFDO=ZEBO,ZEZF.：.XBO叫XDoF.OE=OF.7 .平行四一边形的判定的应用熟练掌握判定定理是平行四边形的判定的关键.已学了平行四边形的五种判定方法，记忆时要注意技巧，其中三种方法都与边有关：（1） 一种关于对边的位置关系（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）；（2）一种关于对边的数量关系（两组对边分别相等的四边形是

11、平行四边形）；（3J一种关于对边的数量与位置关系（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）.平行四边形的判定方法是今后解决平行四边形问题的基础知识，应该熟练掌握.判定平行四边形的一般思路：考虑对边关系：证明两组对边分别平行；或两组对边,分别相等；或一组对边平行且相等；考虑对角关系：证明两组对角分别相等；考虑对角线关系：证明两条对角线互相平分.【例7如图，请在下列四个关系中，选出两个怆当的关系作为条件，推出四边形月58是平行四边形，并予以证明.(写出一种即可)关系：ADIIBC9AB=CD,/力=C,B+NC=180.已知：在四边形458中，,；求证：四边形458是平行四边形.分析：选用关系时，

12、证明两组对边分别平行的四边形是平行四边形；选用关系时，证明两组对边分别平行的四边形是平行四边形；选用关系时，证明一组对边平行并且相等的四边形是平行四边形；选用关系时，证明两组对边分别平行的四边形是平行四边形.解：已知：，均可，其余均不可以.举例如下：已知：在四边形中，(DADIIBC9N/=NG求证：四边形5夕8是平行四边形.证明：4O/5G./4+/石=180./4=NG.NC+=180.；ABI1CD四边形ZE8是平行四边形.8 .平行四边形的性质和判定的综合应用.平行四边形的性质和判定的应用主要有以下几种情况：(1)直接运用平行四边形的性质解决某些问题，如求角的度数、线段的长、证明角相等

13、或互补、证明线段相等或倍分关系；(2)判定一个四边形为平行四边形，从而得到两角相等、两直线平行等；(3)综合运用：先判定一个四边形是平行四边形，然后再用平行四边形的性质去解决某些问题；或先运用平行四边形的性质得到线段平行、角相等等，再判定一个四边形是平行四边形.【例8】如图所示，在,F1BC。中，E,尸分别是力，BO上的点，且AE=CF,AF与BE交于G9DF与CE交于H9连接EF,GH,试问EF与GH是否互相平分？为什么？AEDGBFc解：EF与GH互相平分.理由：在1ZB8中， ：ADzIbc9ae=cf,/.aecf. .。石必砂:.四边形2尸。区E瓦亚都是平行四边形.（一组对边平行且相

14、等的四边形是平行四边形）/.AFIICE,BEHDF. .四边形EG阳是平行四边形.（平行四边形的定义）JEF与GH互相平分.9.三角形的中位线性质的应用三角形的中位线的性质不仅反映了线段间的位置关系，而且还揭示了线段间的数量关系，借助三角形中位线的性质可以进行几何求值（计算角度、求线段的长度）、证明（证明线段相等、证明线段的不等、证明线段的倍分关系、证明两角相等）、作图，且能解决生活实际问题.技巧应用三角形中位线定理解决问题时，已知条件中往往给出两个中点，若已知条件只给出一个中点，必须要证明另一个点也是中点，才能运用此定理.【例9】在4/16。中，AB=12y1C=1O,BC=9,是边上的高.将力6。按如图所示的方式折叠，使点A与点。重合，折痕为EF,则。环的周长为（）.AAEFBDcbDe）CA.9.5B.10.5C.11D.15.5解析：切平是区4户折叠而形成的图形，.AEDEAF./_AEF=ZDEF./。是边上的高，由折叠可知5O_1HE/.EFWCB./.ZAEF=ZB,ZBDE=ZDEF./.ZB=ZBDE.BE=DE=AE.H为/B的中点.同理点F是SC的中点.H尸是4/16。的中位线.。石尸的周长为及4斤的周长，11即AE+EF+AF=-(AB+BC+AC=-(12+9+1G)=5.5.