初中几何全等三角形常见辅助线作法.docx

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1、全等三角形常见辅助线作法【例1.已知：如图6,XBCE、4。分别是以8、Az）为斜边的直角三角形，且BE=A。，ZCOE是等边三角形.求证：AABC是等边三角形.【例2】、如图，已知BCAB,AD=DCoBD平分NABC。求证：ZA+ZC=180o.一、线段的数量关系：通过添加辅助线构造全等三角形转移线段到一个三角形中证明线段相等。1、倍长中线法【例.3如图，已知在AABC中，NC=90,N8=30,Ao平分NBAC,交BC于点D.求证：BD=ICD证明：延长DC到E,使得CE=CD,联结AE,.ZC=90oACCDVCD=CEAAD=AEVZB=30oZC=90o：ZBAC=60oTAD平分

2、NBAC：NBAD=30DB=DAZADE=60o【例4.】如图，。是A8C的边Ae上的点，且CZ)=AB,ZADb=ZBAD,AE是A瓦)的中线。求证：AC=2AEo证明：延长AE到点F,使得EF=AE联结DF在aABE和aFDE中BE=DEYZAEB=ZFEd、AE=FE/.ABEZFDE(SAS)AB=FDZABE=ZFDeVAB=DC/.FD=DC,.ZADC=ZABD+ZBADVZADB=ZBAdZADC=ZABD+ZBDAvzabe=zfde：.ZADC=ZADB+ZFDE即ZADC=ZADFADFWADC中AD=ADVZADF=ZADC、DF=DCADFgADC(SAS)AAF=

3、ACAC=2AE【变式练习】、如图，ZABC中，BD=DC=AC,E是DC的中点，求证：AD平分NBAE.【小结】熟悉法一、法三“倍长中线”的辅助线包含的基本图形“八字型”和“倍长中线”两种基本操作方法,倍长中线，或者倍长过中点的一条线段以后的对于解决含有过中点线段有很好的效果。【变式练习臬如图所示，AD是aABC的中线，BE交AC于E,交AD于F,且AC=BF。求证：AE=EFo2、运用角平分线构造全等【例5】如图，已知在AABC中，ZB=60o,ZXABC的角平分线AD,CE相交于点0,求证：OE=OD证明：在AC上截取AF=AE,联结OF在AABC中，ZB+ZBAD+ZACB=180oV

4、NB=60ZBAD+ZACB=120oVAD平分NBAC中ZBAC=2Z0ACVCE平分NACBZACB=2ZAC02Z0AC+2ZAC0=120o(ASA)Z0AC+ZAC0=60oVZAOE=ZOAC+ZACOJZAOE=60o在AAOE和AAOF中AE=AF1ZEAO=ZFAo、AO=AOAOEAOF(ASA).,.ZAOE=ZAOeOE=OFZAOE=60oZA0E+ZA0E+ZF0C=180oNFOC=60VZAOE=ZCOd.NCOD=60在ACOD和ZXCOFZDCO=ZFCOJCO=COZDOC=ZFOcCODCOFOD=OFVOE=OFAOE=OD【例6】.如图，ZABC中，

5、NBAC=90度，AB=AC,BD是NABC的平分线，BD的延长线垂直于过C点的直线于E,直线CE交BA的延长线于F.求证：BD=2CE.【小结】解题后的思考：D对于角平分线的问题，常用两种辅助线;2）见中点即联想到中位线。【例9】.如图，己知NABC=NDBE=90,DB=BE,AB=BC.(1)求证：AD=CE,ADCE(2)若aDBE绕点B旋转到AABC外部，其他条件不变，则(1)中结论是否仍成立?请证明【例10.如图在RtABC中,AB=AC,NBAC=90,O为BC中点.（1）写出O点到AABC三个顶点A、B、C的距离关系（不要求证明）（2）如果M、N分别在线段AB、AC上移动,在移

6、动过程中保持AN=BM,请判断AOMN的形状,并证明你的结论.联结OA则AOAC和AOABD都为等腰直角三角形AOA=OB=OCAN0gBMO（ZNOa=ZOBM）可得ON=OMZNOA=ZMOB可得到NNoM=NAoB=90【例11】如图，已知MBC为等边三角形，D、E、尸分别在边BC、CAy48上，且AOEF也是等边三角形.（1）除己知相等的边以外，请你猜想还有哪些相等线段，并证明你的猜想是正确的;（2）你所证明相等的线段，可以通过怎样的变化相互得到？写出变化过程.4、截长补短法【例12、如图，A8C中，AB=2AC,AD平分NB4C,且AD=BD,求证：CDAC【例13如图，ACBD,E

7、A,EB分另IJ平分NCAB,NDBA,CD过点E,求证;AB=AC+BD【例14如图，已知在内，ZBAC=60,NC=40,P,Q分别在BC,CA上，并且AP,BQ分别是NBAC,ZABC的角平分线。求证：BQ+AQ=AB+BP证明：如图（1）,过O作ODBC交AB于D,ZADO=ZABC=180-60-40=80,XVZAQ0=ZC+ZQBC=80o,ZADO=ZAQO,又.ndao=nqao,OA=AO,ADOAQO,OD=OQ,AD=AQ,XV0D/BP,ZPBO=ZDOb,又.npbo=ndbo,ZDBO=ZDOb,BD=OD,XVZBPA=ZC+ZPAC=70o,ZB0P=Z0BA

8、+ZBA0=70o,.ZBOp=ZBPO,BP=OB,.AB+BP=AD+DBBP=AQ+OQ+BO=AQ+BQ。【例15.如图，在aABC中，ZABC=60o，AD、CE分别平分NBAC、ZACB,求证：AC=AE+CD.方法同【例5】【例16】已知：N1=N2,CD=DE,EF/AB,求证：EF=AC【例17】如图，A5C为等边三角形，点M,N分别在3C,AC上，旦BW=CN,AM与BN交于Q同。求NAQN的度数。先证明aABMgBCN(SAS)可得NCBN=ZBAMNAQN=NABQ+NBAQVzbam=ZcbnNAQN=NABQ+NCBN即ZAQn=ZABC=60作平行线:过图形上某一

9、点作特定的平行线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”若EB=CFo求证：DE=DFo【例18：如图，AABC中，AB=AC,E是AB上一点，F是AC延长线上一点，连EF交BC于D,证明：过E作EGAC交BC于G,则NEGB=NACB,又AB=AC,AZB=ZACB,ZB=ZEGB,ZEGD=ZDCF,AEB=EG=CF,YZEDB=ZCDf,DGE乡DCF,DE=DFo【例19已知：如图，在四边形ABCD中，ADBC,BC=DC,CF平分NBCD,DFAB,BF的延长线交DC于点E.求证：(1)BFCDFC;(2)AD=DE.联结BD证明：TCF平分NBCD/.

10、ZBCF=ZDCf在ABCF和aDCF中BC=CDZBCF=ZDCfCF=CF/.BCFgDCF(SAS)ABF=DF(2)VADBCZADB=ZCBdVBC=DCZCBD=ZCDbZADB=ZCDBVDF/7ABZABD=ZBDFBF=DFZFDB=ZFBdZABD=ZFBd在aABD和AEBD中ZABD=ZEBdBD=BDZADB=ZEDbABD色EBD(ASA)AAD=DE【课堂练习】1 .如图，已知AE平分NBAaAE垂直于BE,且EDAC,ZBAE=36o，那么NBED=.2 .如图：BEAC,CFAB,BM=AC,CN=ABo求证：(1)AM=AN;(2)AM_1AN。NaA图(b

11、)中第27(a)题综合题：已知在AABC中，ZBC=45,高Ao所在的直线与高3E所在的直线交于点F,过点F作FGBC,交直线AB于点G,联结CF(1)当AABC是锐角三角形时(如图a所示)，求证：AD=FG+CD;(2)当NWC是钝角时(如图b所示)，写出线段A。、CD、FG三者之间的数量关系，不必写出证明过程,直接写结论；当HE=FE,皮)=4时，求AG的长.可知AFDC和AAFG都为等腰直角三角形AFD=DCAF=FGVAD=AF+FDAD=FG+DCABD和AAFG都为等腰直角三角形ADCgBDFDC=FDFD=AF+ADCD=FD【总结】常见辅助线的作法有以下几种：1）遇到等腰三角形

12、，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”.2）遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”.3）遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理.4）过图形上某一点作特定的平行线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”5）截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明.这种作法，适合于

13、证明线段的和、差、倍、分等类的题目.6）特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解7）计算角度关系：常用到的知识多边形内角和，平行关联的角度关系，外角内角关系，平分角关系，余角补角的性质。重点掌握特殊三角形（等边、两个常见直角三角形），8字形、燕尾形。数学知识点：I.截长补短法：当题目中出现两条线段之和或两条线段之差等于第三边时，往往联想到截长或补短。所谓截长，就是指将长的线段截去一段和某条线端相等。所谓补短，就是将某条较短线段加长使其和长线段相等。经验：无论截长还是补短，必能推出两个三角形全等。（其他：当三条线段中有两条平行时，

14、一般将两条线段平移到一条线上。）2.照猫画虎：（1）在构造三角形过程中，常常把某一三角形固定看做猫，在图形中画一个与它全等的三角形，叫做虎，及照猫画虎。（2）在实战中，常会遇见一类特殊的图形，采用的方法是把胖子变瘦子或把瘦子变胖子，作为照猫画虎的经典图例。经常做等腰线来画图。（3）书面语言叫做割补法。（其他:这类题目经常做互补的两个角中锐角的等角线或钝角的补角的等角线。）3.角分线妙用：当题目中出现角分线时，一般可联想到两种方法A.做双垂B.做翻折。（其他：（1）当出现SSA图例时，不能直接用，可通过做双垂论证。（2）内对角互补的四边形一般做双垂线或补交线。）4.旋转90：（1）当图形中出现具有公共顶点的两个等腰直角三角形时，可必出现一对旋转90。的全等三角运。（2）当题目中出现两条线段a,1）有_1b且a=b时，可联想到构造旋转90的全等三角形。（3）当图形具有等邻边特征时，可以把图形的某部分绕等邻边的公共端点旋转到另一位置。（如等腰直角三角形一般旋转90,等边三角形旋转60。（其他：D几何问题中当论证关系时一般考虑两方面A.数量关系B位置关系。2）旋转90。的全等三角形的特征是：对应边相等且夹角90。3）等腰直角三角形底