人教版第十一全等三角形的提高拓展训全等三角形经典题doc.docx

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1、人教版第H一全等三角形的提高拓展训全等三角形经典题doc本文档内字体为阿里巴巴普惠体R，CTR1+A全选可调整字体属性及字体大小-CA1-FENGHA1NetworkInformationTechno1ogyCompany.2023YEAR全等三角形的提高拓展训练知识点睛全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等.寻找对应边和对应角，常用到以下方法：(1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边.(2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角.(3)有公共边的，公共边常是对应边.(4)有

2、公共角的，公共角常是对应角.(5)有对顶角的，对顶角常是对应角.两个全等的不等边三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角)，一对最短边(或最小角)是对应边(或对应角).要想正确地表示两个三角形全等，找出对应的元素是关键.全等三角形的判定方法：(1)边角边定理(SAS)：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.(2)角边角定理(ASA)：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等.(3)边边边定理(555)：三边对应相等的两个三角形全等.(4)角角边定理(AA5)：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等.(5)斜边、直角边定理(H1)：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全

3、等.全等三角形的应用：运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程中，注意有时会添加辅助线.拓展关键点：能通过判定两个三角形全等进而证明两条线段间的位置关系和大小关系.而证明两条线段或两个角的和、差、倍、分相等是几何证明的基础.例题精讲板块一、截长补短【例1】(06年北京中考题)已知A8C中，ZA=60,BD、CE分别平分NABC和.ZACB,BD、交于点。，试判断AE、CD、BC的数量关系，并加MBE【例2】如图，点例为正三角形ABD的边AB所在直线上的任意一点（点8除外），作/ZWN=60。，射线历N与NZ迎1外角的平分线交于点N,DM与MN有怎样的数量关系【变式

4、拓展训练】如图，点M为正方形ABa）的边AB上任意一点，MN_1OM且与NABC外角的平分线交于点N,MD与MN有怎样的数量关系【例3】B【例4】以ABC的AB、AC为边向三角形外作等边AA皮）、相交于点。.求证：。八平分NDOE.【例5】（北京市、天津市数学竞赛试题）如图所示，A8C是边长为1的正三角形，MOC是顶角为120。的等腰三角形，以。为顶点作一个60。的MDN9点M、N分别在AB、4C上，求WN的周长.【例6】五边形ABCOE中，AB=AE9BC+DE=CD,ZABC+ZAED=180,求证：AQ平分NCz)E/板块二、全等与角度【例7】如图，在ABC中，ZfiAC=60o,AP是

5、/BAC的平分线，且AC=AB+BD9求/ABC的度数.【例8】在等腰MBC中，AB=AC9顶角NA=20。，在边AB上取点。，使AD=BC9求ZBDC.【例9】（“勤奋杯”数学邀请赛试题）如图所示，在A8C中，AC=BC9ZC=20,又用在AC上，N在BC上，且满足N8AN=50。，ZABM=60,求ANMB.【例10】在四边形ABC。中，已知AB=AC,ZAfiD=60,AADB=76,ZDC=28,求NDBC的度数.【例11】（日本算术奥林匹克试题）如图所示，在四边形ABC。中，NoAC=I20,NCAB=36,NABD=48,ZDBC=24,求ZACD的度数.【例12（河南省数学竞赛试

6、题）在正BC内取一点D,DA=DB9在BC外取一点E,使NDBE=NDBC,且的=84,求ZftED.【例13（北京市数学竞赛试题）如图所示，在ABC中，ZBAC=ZBCA=44M为ABC内一点，使得NMCA=30,NMAC=I6、求NBMC的度数.全等三角形证明经典50题（含答案）1.已知：AB=4,AC=2,D是BC中点，AD是整数，求AD因为BC=ED,CF=DF,ZBCF=ZEDFo所以三角形BCF全等于三角形EDF（边角边）。所以BF=EF,ZCBF=ZDEFo连接BEo在三角形BEF,BF=EFo所以Zebf=ZbeFo又因为Zabc=ZaeDo所以Zabe=ZaeBo所以AB=A

7、Eo在三角形ABF和三角形AEF中，AB=AE,BF=EF,NABF=NABE+NEBF=NAEB+NBEF=NAEF0所以三角形ABF和三角形AEF全等。所以NBAF=NEAF(NI=N2)。己知：4J=N2,CD=DE,EFB如图，四边形ABCD中，AB/7DC,BE、CE分别平分NABC、ZBCD,且点E在AD上。求证：BC=AB+DCo证明:在BC上截取BF=BA,连接EF.NABE=NFBEJBE=BEM/ABE义AFBE(SAS),NEFB=NAAB平行于CD,则:NA+ND=180;又NEFB+ZEFC=180。,则ZEFC=ZD;又NFCE=NDCE,CE=CE,故/FCE会A

8、DCE(AAS),FC=CD.所以,BC=BF+FC=AB+CD.13.已知：AB14.P是NBAC平分线AD上一点，AOAB,求证：PC-PBAC-AB作B关于AD的对称点B1因为AD是角BAC的平分线，B，在线段AC上（在AC中间，因为AB较短）因为PCVPB+BC,PC-PBvBC,而BtC=AC-AB=AC-AB,所以PC-PB.求证：AD+BC=AB.E,20. （5分）如图，已知AO8C,NPAB的平分线与NCBA的平分线相交于（10分）如图：在aABC中,所以角ADBn角BBA=BC,D是AC的三角形ABD和三角形BCD的三条边都相等，它们全等,CDB相等，它们的和是180度，所

9、以都是90度，BD垂直AC28、（10分）AB=AC,DB=DC,F是AD的延长线上的一点。求证：BF=CF证明：在aABD与aACD中AB=ACBD=DCAD=ADABDACDZADB=ZADCZBDF=ZFDc在aBDF与aFDC中BD=DCZBDF=ZFDcDF=DFFBDFCDABF=FC29、（12分）如图：AB=CD,AE=DF,CE=FBo求证：AF=DEo因为AB=DCAE=DF,CE=FBCE+EF=EF+FB所以三角形ABE二三角形CDF因为角DCB二角ABFAB=DCBF=CE三角形ABF=三角形CDE所以AF=DE30 .公园里有一条“Z字形道路ABCD,如图所示，其中

10、ABCO,在48,CD,Be三段路旁各有一只小石凳E,F,M,且BE=CRM在BC的中点,试说明三只石凳E,F,M恰好在一条直线上.证：.AB平行CD（已知）JNB=NC（两直线平行，内错角相等）OM在BC的中点（已知）AEM=FM（中点定义）在ABME和ACMF中BE=CF（己知）ZB=ZC（已证）EM=FM（已证）JZkBME全等与ACMF（SAS）ZEMB=ZFMC（全等三角形的对应角相等）.ZEMF=ZEMB+ZBMF=ZFMC+ZBMF=ZBMC=180o（等式的性质）.E,M,F在同一直线上31 .已知：点A、F、E、C在同一条直线上，AF=CE,BE7DF,BE=DF.求证：AB

11、ECDF.证明：VAF=CEAF+EF=CE+EFAAE=CF.BE知：如图所示，AB=AD,BC=DC,E、F分别是DC、BC的中点，求证：AE=AFo连结BD,得到等腰三角形ABD和等腰三角形BDC,由等腰两底角相等得：角ABC二角ADC在结合己知条件证得：ADEABF得AE=AF33.如图，在四边形ABCQ中，E是AC上的一点，Z1=Z2,Z3=Z4,求证:因为角I二角2N3=N4所以角ADC二角ABC.BZ5=Z6.又因为AC是公共边，所以AAS=三角形ADC全等于三角形ABC.所以BC等于DC,角3等于角4,EC=EC三角形DEC全等于三角形BEC所以N5=N634 .已知ABBCE

12、F.D,。在A尸上，且AD=CR求证：ABCDEF.因为D,C在AF上且AD=CFbE所以AODF1又因为AB平行DE,BC平行EF/I所以角A+角EDF,角BCA二角F（两直线平行，/ADCF内错角相等）然后SSA（角角边）三角形全等35 .已知：如图，AB=ACfBDAC,CEAB,垂足分别为。、E,BD、CE相交于点尸，求证：BE=CD.证明：因为AB=AC,所以ZEBC=ZDCb因为BD_1AC,CEAB所以ZBEC=ZCDbBC=CB（公共边）则有三角形EBC全等于三角形DCB所以BE=CD36、如图，在AABC中，A。为NBAC的平分线，DE1ABE1DFACFoD求证：DE=DF.AASiiEADEADF37.已知：如图,AC18C于。，0七14。于七，4。_148于4,3。=4七.若48=5,求A。的长角C二角E=90度角B二角EAD=90度-角BACBC=AEABC/ZXDAEAD=AB=538.如图：AB=AC,MEAB,MFAC,垂足分别为E、F,ME=MFo求证：MB=MC证明,AB=ACABC是等腰三角形AZB=ZC又TME=MF,ZkB