2对偶空间.docx
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1、2对偶空间设V是数域P上一个维线性空间.丫上全体线性函数组成的集合记作1(V,P).可以用自然的方法在1(KP)上定义加法和数量乘法.设fg是V的两个线性函数.定义函数/+g如下:(f+g)=()+g(),aV./+g也是线性函数:(/+g)(+)=f(a+-)+g(+B)=f()+/(夕)+g()+g()=(+g)(a)+(f+g)(),(/+g)伏)=f(ka)+g(Z)=kf(a)+kg(a)=k(f+g)()./+g称为/与g的和.还可以定义数量乘法.设/是V上线性函数,对于P中任意数上,定义函数V如下:(kf)(a)=kfa),V,灯称为k与/的数量乘积,易证Zf也是线性函数.容易检
2、验,在这样定义的加法和数量乘法下,1(KP)成为数域P上的线性空间.取定V的一组基与,冬,%,作V上个线性函数力,力,J.,使得E(J)=W;i,j=1,2,,n.(1)因为力在基4,4,%上的值已确定,这样的线性函数是存在且唯一的.对V中向量=Z天4,有=1fi(a)=xi,(2)即力()是a的第i个坐标的值.引理对V中任意向量,有=tf(网,(3)i=而对1(KP)中任意向量了,有f=Wfi(4)1=1定理21(匕尸)的维数等于V的维数,而且九人,J是1(KP)的一组基.定义21(Pw)称为V的对偶空间.由(1)决定1(KP)的的基,称为与,4,的对偶基.以后简单地把丫的对偶空间记作V”.
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- 对偶 空间
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