高数下册复习提纲.docx

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1、第7章：微分方程一、微分方程的相关概念1 .微分方程的阶数：方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程的阶.2 .微分方程的解：使微分方程成为恒等式的函数称为微分方程的解.通解：所含独立的任意常数的个数与方程的阶数相同的解称为微分方程的通解.特解：确定了任意常数的通解称为微分方程的特解.3 .特解与通解的关系：可通过初始条件确定通解中的常数而得到满足条件的特解:也可通过方程的表达式直接观察得到特解，因此特解不总包含在通解中.二、微分方程的常见类型及其解法(1) 分离变量的微分方程及其解法.方程的形式：g(y)dy=f(x)dx.(2) .方程的解法：分离变量法(3) .求解步骤 .分离变量，

2、将方程写成g(y)y=(x)力:的形式： .两端积分：g(y)dy=f(x)dx,得隐式通解G(y)=/(x)+C； .将隐函数显化.2.齐次方程及其解法(1) .方程的形式：虫=$上.axx)(2) .方程的解法：变量替换法(3) .求解步骤 .弓I进新变量=2,有y=及半=+x半：Xaxdx .代入原方程得：+x半=*()：dx .分离变量后求解，即解方程疝=如;(P(14)-UX .变量还原，即再用上代替.X3. 一阶线性微分方程及其解法(1) .方程的形式:字+P*)y=Q(X).OX阶齐次线性微分方程：虫+P(x)y=Odxdy阶非齐次线性微分方程：B+P(x)y=Q(x)0.dx(

3、2) .阶齐次线性微分方程序+P(x)y=O的解法：分离变量法.dx通解为y=Ce-Hx,(CR).(公式)dy(3) .阶非齐次线性微分方程一+P(x)y=Q(x)O的解法：常数变易法.ax对方程序+P(x)y=Q(x),设y=(x)eT3x为其通解，其中(幻为未知函数，ax从而有.=iJ)e一卜di(x)Pa)eTM，dx代入原方程有M(X)eX)Si(X)P(X)八+P(x)(x)e-(加=Q(X),整理得M(X)=Q(X)JP,两端积分得M(x)=(xao+C,再代入通解表达式，便得到阶非齐次线性微分方程的通解j=P*MJQ(x)ejpdxdx+C)=Ce-e(JQMep(xdxdx,

4、(公式)即非齐次线性方程通解=齐次线性方程通解+非齐次线性方程特解.三、可降阶的高阶微分方程1 .严=F(X)型接连次积分，可得此方程的含有个相互独立的任意常数的通解.2 .y=(,y)型令y=p,则y二包，代入原方程，并依次解两个一阶微分方程便可得此方程的通解.dx3y=f(y,y)型令y=p,则y=半=半半=P半，代入原方程，得到一阶微分方程P2=f(y,p).解dxaydxayay此阶微分方程，得到y=p=0(y,G),然后分离变量并积分便可得此方程的通解.第8章向量与解析几何平面直线法向量”=A,B,C点Mo(X0,稣/0)方向向量T=见,p点Mo(Xo,%,Zo)方程名称方程形式及特

5、征方程名称方程形式及特征一般式Ax+By+Cz+D=O一般式fAix+Biy+C1z+Di=0A2x+B1y+C2z+D2=0点法式A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-zo)=0点向式mnp三点式x一再y-yZ-Z1占一再,2-,Z1/一%外一,-21=0参数式x=x0+mty=y0+ntz=z0+p截距式xyziabc两点式-%_Z_Z。七一小,一为Z-z0面面垂直AA,+BiB2+C1C2=0线线垂直mym2+12+P1p2=0面面平行A=A=SA2B2C2线线平行生=2=义m2n2p2线面垂直ABC=tnnp线面平行Am+Bn+Cp=O点面距离Mo(X，%，Zo)Ax+By+Cz+D

6、=O二,_IArttab+CjA2+2+C2面面夹角线线夹角线面夹角%=At,B向n2A2tB2,C2s1=1,1,p1s2=n2,n1,p2s=m,n,pn=A,B,C)MCQ_IAiA2+B1B2+C1C21_CoS=1I町吗g+PiPQm；+fiy+；J+P2SiAm+Bn+Cpfy2+12+C12A22+B22+Gyp2+B2+C2ym2+n2+p2第9章多元函数微分法及其应用、基本概念1 .多元函数(1)知道多元函数的定义元函数：y=(x1,x2,x,)(2)会求二元函数的定义域1：分母不为O；2。：真数大于O；3：开偶次方数不小于O；4o：z=arcsinw或arccosw中|IW

7、1(3)会对二元函数作几何解释2 .二重极限Iimf(x9y)=AxoFTyo这里动点(X,y)是沿任意路线趋于定点(%,X)的.(1) 理解二重极限的定义(2) 一元函数中极限的运算法则对二重极限也适用，会求二重极限；(3) 会证二元函数的极限不存在(主要用沿不同路径得不同结果的方法).3 .多元函数的连续性(1)理解定义：Iim/(P)=/(/).p用(2)知道一切多元初等函数在其定义域内连续的结论；(3)知道多元函数在闭区域上的最大最小值定理、介值定理。二、偏导数与全微分1偏导数(1)理解偏导数的定义(二元函数)=Hm/(/+刈，)()-/心，儿)r0X=Hm-。，九心)一/(X。，)。

8、)AyTOM(2)知道偏导数的儿何意义以及偏导数存在与连续的关系.(3)求偏导数法则、公式同一元函数.4 .高阶偏导数(1)理解高阶偏导数的定义.(2)注意记号与求导顺序问题.分2分2(3)二元函数有二阶连续偏导数时，求导次序无关：胃=胃.xyyx5 全微分(1)一知道全微分的定义若z=/(x0+x,Mj+y)-(,y0)可表示成Ax+8Ay+o(p),则Z=f(x,y)在点(Xo,%)处可微；称Ax+BAy为此函数在点(Xo,%)处的全微分，记为dz=Ax+8Ay.(2)知道二元函数全微分存在的充分必要条件：函数可微，偏导数必存在；z.z_z.z.Ozj、(A=，B=；dz=dx-dy)xy

9、xy偏导数存在，不一定可微(Az-dz是否为0(2).偏导数连续，全微分必存在.方向导数、梯度,只对快班要求.三、多元复合函数与隐函数求导法则1 .多元复合函数的求导法则/、SZzuzv(1) =1xuxvxz_zuzvyuyvy(2)对于函数只有个中间变量的二元函数或多个中间变量的一元函数(全导数)的求导法要熟练掌握.(3)快班学生要掌握多元复合函数(主要是两个中间变量的二元函数)的二阶偏导数的求法.2 .隐函数的求导公式1 1)一个方程的情形若尸(乂y)=0确定了y=y(x),则半=-与；axFyAzFAzF若F(x,y,z)=O确定了z=z(x,y),则=,二oxFzoyFz(2)方程组

10、的情形若仁()U能确定P=M2则由G(X,y,z)=Oz=z(x)F+F-+F.=0XV1IdxaxG+G-+G,-=0XVjZJdxdx可解出虫与农；axdx(x,y,H,v)=O/、缶4-T“分山35v,uv若八八确定了=(x,y),V=v(x,y),象上边一样，可以求出丁，丁及丁，G(x,y,w,v)=0XdXdyey2 .极值应用=0(1)求一个多元函数的极值(如Z=f(x,y):先用必要条件甯，求出全部驻点，再用充分条件求=0出驻点处的Z,Z与ZJJ?*AC-B20,A0时有极小值；AC-B2八5D(8)1=12.,几何意义：当F(X,y)20,JJ7(x,y)db表示以曲面Z=F(

11、X,y)为顶，以。为底的曲顶柱体体积.D物理意义：以f(x,y)为密度的平面薄片。的质量.3.性质I0：kf(xty)d=欠Jf(x,y)d2：(y)g(x,y)db=f(x,y)dg(x,y)d4.3：4：5：6：7：若O=+。2，则f(x,y)d=f(xiy)d+/(x,y)dDD1，(乂0三1时，(x,y)d=rt若在Dh(x,y)2(x,y),则D2(x,y)d(x,y)d=Jdf(X,y)db2f(x,y)d若/(x,y)在闭区域。上连续，且m(x,y)M,则加JJ/(x,y)doD(中值定理)若/(x,y)在闭区域。上连续，则必有点C,)O,使J7(x,y)db=/()/二重积分的

12、计算法(1)1在直角坐标系中：若积分区域。为X-型区域D：axbx)y2x)翻:y=iM2则化为先y后/的二次积分：f(x,y)dxdy=J：公J；：f(xty)dy：若积分区域。为丫-型区域D：cyd(y)x2y)则化为先X后y的二次积分：f(x,y)dxdy=/(x,y)dxX一型区域(2)在极坐标系中/(x,y)=f(rcos9,rsin9),d=rd。1：极点在。外：a)r1()则有g(x,),)db=j3可；：/(rcos6,rsin)rdr2：极点在。的边界上:a：re()则有(x,y)J=ff,3：极点在。内:极点在。的边界上D：则有02飞r()f(x,y)d=J：d可:)/(rcos,rsin)rdr极点在。内在计算二重积分时要