概率论和数理统计知识点总结超详细版.docx

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1、概率论与数理统计第一章概率论的基本概念2 .样本空间、随机事件1事件间的关系A B则称事件B包含事件A,指事件A发生必然导致事件B发生ABxxA或XB称为事件A与事件B的和事件，指当且仅当A. B中至少有一个发生时，事件A B发生ABxxA且XB称为事件A与事件B的积事件，指当A, B同时发生时，事件A B发生A-B xx A且X B称为事件A与事件B的差事件，指当且仅当A发生、B不发生时，事件A-B发生A B ,则称事件A与B是互不相容的，或互斥的，指事件A与事件B不能同时发生，基本事件是两两互不相容的A BS且 A B则称事件A与事件B互为逆事件，又称事件A与事件B互为对立事件2.运算规则

2、交换律ABBAABBA结合律(A B) C A (B C)(A B)C A(B C)(B C) 分配律AA (B C)(A B) (A C)(A B) (A C)德摩根律IB A3 ,频率与概率定义 在相同的条件下，进行了 n次试验，在这n次试验中，事件A发生的次数n称为事 A件A发生的频数，比值n /n称为事件A发生的频率A概率：设E是随机试验，S是它的样本空间，对于E的每一事件A赋予一个实数，记为P (A), 称为事件的概率1 .概率P/V满足下列条件：(1)非负性：对于每一个事件AO P(A) 1(2)规范性：对于必然事件S Pe(3)可列可加性：设A, A,A是两两互不相容的事件，有P

3、TJAr,()I 2 nk n .k z _rk I ) k *P A (n可 以取)2 .概率的一些重要性质：O 0P(H)若A ,A,，A是两两互不相容的事件，则有PCA ) n ()k 1 k k，PAk (n可以取)(iii)设 A, B 是两个事件若 A B,则P(B A) P(B) P(A) P(B) P(A)(iv)对于任意事件A, P i . i是L2,.n中某k个不同的数，则有 12,k()k 1 kA包含的基本事件数iip e- S中基本事件的总数5 .条件概率(D 定义：设A,B是两个事件，且Pzv ( I ) 坐黑为事件A发生的条 ,称PBA P(A)件下事件B发生的条

4、件概率(2) 条件概率符合概率定义中的三个条件1非负性：对于某一事件B,有P(BlA) 02规范性：对于必然事件S, P (S I A) 13可列可加性：设Bj,B9, 是两两互不相容的事件，则有P(UBJA ) P(B,A ) i 1i 1(3)乘法定理设 P,则有P(AB) P(B) P (A B)称为乘法公式(V) P(* 1 P(A)(逆事件的概率)(Vi)对于任意事件A, B 有P(A B) P(A) P(B) P(AB)4等可能概型(古典概型)等可能概型：试验的样本空间只包含有限个元素，试验中每个事件发生的可能性相同若事件A包含k个基本事件，即A e e .e ,里 b i2L(4

5、) 全概率公式：P(A) n P(B)P(A B ) ii贝叶斯公式：P26 .独立性P(B )P(A B ) k n ()(1)P Bi P A Bi i 1定义 设A, B是两事件，如果满足等式P iwviku7 ,则称事件A,B相互独立 定理一 设A, B是两事件，且P 若A, B相互独立，则P(Bl A) P B定理二 若事件A和B相互独立，则下列各对事件也相互独立：A字，K与B, N与B 第二章随机变量及其分布1随机变量定义设随机试验的样本空间为 A是定义在样本空间S上的实值单值函数，称X X为随机变量2离散性随机变量及其分布律1 .离散随机变量：有些随机变量，它全部可能取到的值是有

6、限个或可列无限多个，这种随 机变量称为离散型随机变量P(X x) P满足如下两个条件(1) p 0, Q) P=I k kkkk 12 .三种重要的离散型随机变量pqn-k是二项式(P q) ”的展开式中出现Pk的那一项，我们称随机变量X服从参数为 kn, P的二项分布。(3)泊松分布设随机变量X所有可能取的值为0,1,2，而取各个值的概率为(X k) ,k QL2 ,其中 0Pk!是常数，则称X服从参数为的泊松分布记为X”()3随机变量的分布函数定义 设X是一个随机变量，X是任意实数，函数I 1 i AA称为X的分布函数分布函数F,具有以下性质F(X)(2)是一个不减函数0 F(x) 1,且

7、 F( ) QF( ) 1(3) F (x 0) F (x),即 F(X)是右连续的4连续性随机变量及其概率密度连续随机变量：如果对于随机变量X的分布函数F (X),存在非负可积函数f(x),使对于任意函数X有F(X)Xf (t) dt 则称X为连续性随机变量，其中函数戈X)称为X的概率密度函数，简称概率密度1即丑IElW具有以下性质满足0)f(X) Q ()fdx ；(3) P (x X X) x2 f (x)dx( )F ( ) f(x)2 X. ； K)若f X在点X处连续，则有X2,三种重要的连续型随机变量_ X bb-a a .则成X在区间(a,b)上服0 ：其他0,其他为常数，IM

8、称X(1)均匀分布若连续性随机变量X具有概率密度f (x)从均匀分布.记为X U (a. b)(2)指数分布若连续性随机变量X的概率密度为f(x) 服从参数为的指数分布。(3)正态分布11_U若连续型随机变量X的概率密度为f(x) -7=e.- X .22 2其中，(0)为常数，则服称从参数，为的正态分布或高斯分布，记为X “ N ( ,2)特别，当 ，1时称随机变量X服从标准正态分布5随机变量的函数的分布定理,() g Xf (y)Y设随机变量X具有概率密度f (),- X ，()X又设函数g X处处可导且恒有0(),则 Y=gX 是连续型随机变量，其概率密度为f h(y)h,(y) x 0

9、,其他y第三章多维随机变量1二维随机变量定义设E是一个随机试验，它的样本空间感 e. X X(e)和YY(C)是定义在S上的随机变量，称A w 为随机变量，由它们构成的一个向量(X, Y)叫做二维随机变量设(X, Y)是二维随机变量，对于任意实数X t y ,二元函数 F (x, y) P(X ) (Y y)记成PX , Y y称为二维随机变量(X. Y)的分 布函数如果二维随机变量(X, 丫)全部可能取到的值是有限对或可列无限多对，则称(X, 丫) 是离散型的随机变量。我们称P(X ., Y y) p. i, j 2 为二维离散型随机变量(xl Y)的分 1j 布律。对于二维随机变量(X,

10、丫)的分布函数,如果存在非负可积函数f (, y), 使对于任意 X, y 有F (x, y) Xf(L v) dudv.则称(X, Y)是连续性的随机变量， 函数f (x, y)称为随机变量(X, Y)的概率密度，或称为随机变量X和Y的联合概率密度。 2边缘分布二维随机变量(X, Y)作为一个整体，具有分布函数.而X和丫都是随机变量，各自也有分布函数，将他们分别记为F (x), F (y),依次称为二维随机变量(X, Y) X Y关于X和关于Y的边缘分布函数。P. p. PX x., i 12.p .p. PY y. j L2,IUIJJJIJ Ii I分别称P P为(X. Y)关于X和关于

11、Y的边缘分布律。 i Jf(X) f(x,y) dyf (y) f(x, y) ClX 分别称 f (x),XYXf (y)为X, Y关于X和关于Y的边缘概率密度C Y3条件分布定义 设(X, Y)是二维离散型随机变量，对于固定的j,若P j j Ji a 11 v r PX X, Y y p则称P il j p i y j ,iLi L2为在Y y j条件下jjCy aa i Px ,Y yp随机变量X的条件分布律，同样PI KL,jL2j i P(X X) p为在XXi条件下随机变量X的条件分布律。设二维离散型随机变量(x. Y)的概率密度为fUy), X, Y)关于Y的边缘概率密f(X

12、V)度为f (y),若对于固定的y, f (y) 0,则称一为在Y=y的条件下X的条件概率密Yf (y)Y度，记为f (Ny) =X YfUy)Y4相互独立的随机变量定义设F (x, y)及F () F ()X X , y分别是二维离散型随机变量(X, Y)的分布函 数及边缘分布函数.若对于所有,y有PlA AW-A am 11 。即Fx,y F (x)Fy (y),则称随机变量X和Y是相互独立的。对于二维正态随机变量(X, Y) , X和Y相互独立的充要条件是参数05两个随机变量的函数的分布1, Z=x+Y的分布设(x,Y)是二维连续型随机变量，它具有概率密度f&y).则z=x+仍为连续性随

13、机变量，其概率密度为1Y(Z) f(z y y) dy或f Y (Z) f(XZ X)dx 又若X和Y相互独立，设(X, Y)关于X, Y的边缘密度分别为JIX), f (y)则f (z) f (z y) f (y)dy 和 f (z) f (x) f (z x)dxXY X XY x 这两个公式称为f,f的卷积公式X Y有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布2, Z1的分布、Z XY的分布 X设(XY)是二维连续型随机变量，它具有概率密度f &y),则Z Z XYA仍为连续性随机变量其概率密度分别为f / (Z) IXlf xz)dxY Xf (z)(,-)又若X和Y相互独立

14、，设(X, Y)关于X, Y的边缘密度分别为XY IxIf X x dxf (), f (y)则可化为 f, (Z) O ( ). O rf ()f (-)x , FXfYXZdX fx z IxI x YXdX3 M maxX1 Y及N IninX,Y的分布设X, Y是两个相互独立的随机变量，它们的分布函数分别为F (x), F (y)由于 X YM maxX1 Y不大于Z等价于X和Y都不大于Z故有PM z PX z, Y z又由于X和丫相互独立，得到M的分布函数为().()()CmaX-X r-r zr z F zN minX, Y的分布函数为F z FZFZmin() 1 1 x() ()第四章随机变量的数字特征1 .数学期望定义(X Y D设离散型随机变量X的分布律为Pm p kk 1 k k,k=1,2, .若级数 X P绝对收敛，则称级数 X P的和为随机变量X的数学期望，记为E(X)