微分方程数值解法编程作业二.docx

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1、微分方程数值解法编程作业二考虑扩散方程的初边值问题u2u八1八_CeY-If、ftx2:w(x,0)=sin,0X().四种差分格式为：(1)向前差分格式w；+,=(1-22)；+2uJ+1+unj,x(2)向后差分格式-4明+(1+24)IIT-呵：；=w；(3) Crank-NiCo1SOn格式+(1+4)勺-uj+-(-)uj+-uj+1+-M7-I(4) DuFort-Franke1格式(1+22)w；+,=(1-22)mJ-,+2wJ+1+2呵T其中，(1)为二步显式格式，(2)、(3)为二步隐式格式，(4)为三步显式格式。(2)、(3)格式需要求解线性方程组。用四种方法计算数值解，

2、并与初值问题的解析解相比较，得出你的结论并简要说明。解：functionkuosan1%向前差分h=0.1;Iambna=0.10.5;x=1;t=0.1;J=round(xh);x=0:h:1;u=sin(pi*,);fork=1:2N=round(t(Iambna(k)*h2);fori=1:Nforj=2:Ju(j,i+1)=u(j,i)+Iambna(k)*(u(j+1,i)-2*u(j,i)+u(j-1,i);endendu(：,N+1);w=exp(-pi2*t)*sin(pi*x,);ez=u(:,N+1)-w;tab1e=u(:,N+1),w,ez;disp(strcat(,t

3、ab1e,num2str(k),当，Iambna=,num2str(Iambna(k)fprintf(,近似解解析解误差)fprintf(,n,)c1isp(u(:,N+1),w,ez)subp1ot(1,2,k)p1ot(x,u(,N+1),r*,)ho1don;p1ot(x,w)tit1e(strcat(,近似解与解析解比较，当，Iambna=,num2str(Iambna(k)1egend(,近似解，解析解)end(1) functionkuosan2%向后差分X=0:0.05:1;U=exp(-piA2*0.1)*sin(pi*X);x=0:0.1:1;u1=XH(0.1,100);u

4、2=XH(05,20);p1ot(x,u1,ri,x,u2,g-.,X,U,b,TineWidth,2);x1abc1(x,);y1abe1(,u,);IegeIId(Yambda=O.1,Yambda=O.5;准确解。；Ut1eC向后差分)；functionu=XH(A,T)x=0:0.1:1;m=1ength(x);u=sin(pi*x);C1=sparse(1:m-2,1:m-2,1+2*A,m-2,m-2);C2=sparse(2:m-2,1:m-3,-A,m-2,m-2);C3=sparse(1:m-3,2:m-2,-A,m-2,m-2);C=C1+C2+C3;%系数矩阵forn=1

5、:Tb=u(2:m-1);u(2:m-1)=Cb;end(2) functionkuosan3%C-N格式X=O:0.05:1;U=exp(-pi2*0.1)*sin(pi*X);x=0:0.1:1;u1=CN(O.1,100);u2=CN(0.5,20);p1ot(x,u1,r:,x,u2,g-.,X,U,b,1ineWidth1,2);x1abe1(,);y1abe1Cu,)；1egend(,Iambda=O.,Iambda=O.5,准确解)；tit1e(,C-N格式)；functionu=CN(A,T)x=0:0.1:1;m=1ength(x);u=sin(pi*x);C1=sparse

6、(1:m-2,1+A,m-2,m-2);C2=sparse(2:m-2,1:m-3,-0.5*A,m-2,m-2);C3=sparse(1:m-3,2:m-2,-0.5*A,m-2,m-2);C=C1+C2+C3;%系数矩阵forn=1:Tb=(1-A)*u(2:m-1)+(0.5*A)*u(3:m)+(0.5*A)*u(1:m-2);u(2m-1)=Cb,;endfunctionkuosan4%DuFort-Franke1格式X=0:0.05:1;U=exp(-pi2*0.1)*sin(pi*X);x=0:0.1:1;u1=DF(0.1,100);u2=DF(05,20);p1ot(x,u1,r,x,u2,g-.,X,U,b,TineWidth,2);x1abc1(x,);y1abe1(,u,);IegeIId(Yambda=O.1,Yambda=O.5;准确解。；tit1e(,DuFort-Franke1格式)；functionu=DF(A,T)x=0:0.1:1;m=1ength(x);u=sin(pi*x);b=u;v=u;forn=1:Tfori=2:m-1u(i)=(1-2*A)*b(i)+2*A*v(i+1)+2*A*v(i-1)(1+2*A);endb=v;v=u;end结论：显示格式向前格式和DUFOrt-FrankeI格式的误差较小，向后差分格式的误差最大。