常系数齐次线性微分方程.docx

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1、一、形式-yx)(x)v = Oax ax(2)其中二八1为常数，称之为二阶常系数齐次微分方程,若 j I I不全为常数称之为二阶变系数齐次微分方程。二、解法记：+“+-”（3）将一/代入中有IL -,称N .”为的特征方程。设?勺为（4）的解。当ZiAo即14j I时，y=匚尸工婷、为其通解。当 = F =尸即二%TJ时，（3）只有一个解夕二当,= 3即/ 4。时,有.、一 4”是解。利用欧拉公式可得实解，故通解为y =3（Crl cos x C3 sin 6万）求二阶常系数齐次线性微分方程y +F+*-（2）的通解的步骤如下：1 .写出微分方程（2）的特征方程 + q =。（3）2 .求出

2、特征方程（3）的两个根5、公。3.根据特征方程（3）的两个根的不同情形，按照下列表格写出微分方程（2）的通解:特征方程厂F .”的两个跟tI ：二微分方程y+pyqy=m的通解两个不相等的实根tWy = Clev C3cv两个相等的实根y-(C1 + C2x)ec一对共物复根 = *l6V - /(C3 C QSf 工+C; SUj .6工)例1求微分方程了 -3?=的通解。解所给微分方程的特征方程为八 27 = 0其根勺=? = ?是两个不相等的实根，因此所求通解为y = C1F/d2s 、ds .- - S = LJI I e例2求方程上 dt满足初始条件L)=LNl= J的特解。解所给方

3、程的特征方程为户+ 2川=0其根勺二号=：是两个相等的实根，因此所求微分方程的通解为S=(G+c)将条件Sk)=代入通解，得a=4,从而S-1将上式对E求导，得丁=(6-4-加二再把条件SlI=:代入上式，得二=2。于是所求特解为S = Hd 2i)e r例3求微分方程；一二了4 J -”的通解。解所给微分方程的特征方程为rj-2r+5 = 0其根口 1-为一对共轨发根，因此所求通解为y- e (L1 iOS iCa sin例4在第八节例1中,设物体只受弹性恢复力丁的作用,且在初瞬D时的位置为丁=巧, 初始速度为去L二求反映物体运动规律的函数：- N门。包=Q解由于不计阻力即假设，,所以第八节

4、中的方程（1）成为2x0at（4）方程（4）叫做无阻尼自由振动的微分方程。反映物体运动规律的函数X=R力是满足微分方程（4）及初始条件1 dx l 、* ?.i= 1- vO定的特解。方程（4）的特征方程为3一/二*其根上是一对共规复根，所以方程（4）的 通解为X = C1Cosfc FGrinfeoC=XG = W应用初始条件，定出- O因此，所求的特解为A 一 COSt O（5）为了便于说明特解所反映的振动现象，我们令X 一 月an S j4 -CSm?. （O P I ）。T 7 函数（6）所反映的运动就是简谐振动。这个振动的振幅为力，初相为,周期为k ,角频率为左，由于（见第八节例1）,它与初始条件无关，而完全由振动系统（在本例中就是弹簧和物体所组成的系统）本身所确定。因此，k又叫做系统的固有频率。固有 频率是反映是振动系统特性的一个重要参数。上面结果可扩展到相阶常系数微分方程。例求S t+A- I。通解为；一. v,o小结：本节讲述了二阶常系数齐次线性微分方程的特征方程，特征根，及当 特征根形式不同时，通解具有不同形式。