利用空间向量求解立体几何问题知识点.docx

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1、利用空间向量求斛立体几何问题知识点、基础知识C-J刻画直线与平面方向的向量1 .直线：用直线的方向向量刻画直线的方向问题，而方向向量可由直线上的两个点来确定 例如：A(2,4,6),B(3,0,2),则直线AB的方向向量为45 = (1,-4,-4)2 .平面：用平面的法向量来刻画平面的倾斜程度，何为法向量？与平面垂直的直线称为 平面的法线，法线的方向向量就是平面的法向量，如何求出指定平面的法向量呢？(U所需条件：平面上的两条不平行的直线(2)求法：(先设再求)设平面的法向量为 =(X,y,z),若平面上所选两条直线的方向向量分别为=(%,丫，4)/ =(9,%，22)，则可列出方程组：xix

2、+ yiy + zlz = O x2x + y2y + z2z = O解出x,y,z的比值即可例如：4 = (1,2,0)/ = (2,1,3),求。涉所在平面的法向量x = -2yz = yx + 2y = 0A斛：设 =(X,y,z),则有CC八，解得：(2x + y + 3z = 0.,.X: y: z = -2:1:1= (-2,1,1)(二)空间向量可斛决的立体几何问题(用4,6表示直线4力的方向向量，用肛表示平面,夕的法向量)L判定类(1)线面平行：证明直线。与平面的法向量垂直(2)线面垂直：证明直线。与法向量平行(3)面面平行：证明两个平面的法向量与2平行(4)面面垂直：证明两个

3、平行的法向量;与均垂直2.计算类:（）两左线所成角：COSe=COSab而（2）为面角：Sine= camHHm-n-AA （视平面角与法离为弘YAPn,即AP在法向量上投影的绝对值。(3)二面角：CoSo = Cos(m,)=或COSe = -CoSG，)=向量夹角关系而定）S）点到平面距离：设4为平面外一点，尸为平面上任意一点，则A到平面。的距（三）点的存在性问题：在立体几何解答题中，最后一问往往涉及点的存在性问题，即是否在某条线上存在一点，使之满足某个条件，木讲主要介绍使用空间向量解决该问题时的 方法与技巧L理念：先设再求一一先设出所求点的坐标（x,z）,再想办法利用条件求出坐标2 .斛

4、题关键：减少变量数量一一（乂XZ）可表示空间中的任一点，但题目中所求点往往是 确定在某条线或者某个平面上的，所以使用三个变量比较“浪费”（变量多，条件少，无法 求解），要考虑减少变量的个数，最终所使用变量的个数可根据如下条件判断：（V直婉（一维）上的点、:用一个变量就可以表示出所求点的坐标（2）平面（二地）上的点：用两个变量可以表示所求点坐标规律：维度=所用变量个数3 .如何或少变量：U直爱上的点，（重点人 平面向量共线定理若a=m2eR,使得。=4例：已知A（1,3,4）,P（O,2,1）,那么直线Ap上的某点MaKZ）坐标可用一个变量表示，方法如下：AAi =（x-l,y-3,z-4）,A

5、P = （-l,-1,-3）一 三点中取两点构成两个向量 因为“在AP上，所以= AM =；IAP 共线定理的应用(关键)x-l=- X=1-A y-3 = - y = 3- ,即 M(I43 九4 34)仅用一个变量 2 表示Z 4 = 32z = 4 3求下列平面BC的法向量(1) AB = (,6,0), BC = (O,也,1)平面 ABC 的法向 S-t = (L-l,2)(2) AB = (1,-1,O),BC = (1,O,1)平面ABC的法向量n = (1,1,-1)(3) AB = (2,-1,0), BC = (0,0,1)平面ABC的法向量 =(1,2,0)(4) 43

6、= (2,1,0),BC = (H)平面ABC的法向软 = (1,-2,- 3)(5) AB = (2,0,0), BC = (0,0,1)平面ABC的法向景n = (0,1,0)(6) AB = (1,-2,2), BC = (-1,2,2)平面ABC的法向量n = (2,1,0)(7) AB = (1,1,-2),BC = (2,3,1)平面ABC的法向量 =(7,-5,1)(8) AB = (2,0,-2),BC = (2,2,-l)平面ABC的法向最 = (2,-1,2)(9) AB = (1,-2,2), BC = (2,0,0)J3J3(10) AB = (1,0,-), BC =

7、 (-l,- ,0)平面ABC的法向曷n = (1,3,(H) B = (-,-1 3),BC = (-,0) 222 2平面ABC的法向量 =(1, Jl)(12) AB = (1,0,BC = (-1, 3,0)平面ABC的法向量n = (3,1,1)(13) AB =(-区0,专),BC =吟,-；,与平面ABC的法向量 =(3,53,6)(14) AB =吟与),BC =(瓜Oq)平面ABC的法向量n = (1,-3,-2)(15) AB = (0,3,3), BC = (-1,2,3)平面ABC的法向量/7 = (1,-1, 3)(16) AB =- (,V6)222 2平面ABC的

8、法向量 =(22,0,-l)平面ABC的法向量 = (OJl)求出向量。与的夹角的余弦值”(1,0,1)/ = (2,To)(6) = (0,0,2) = (2,-1,2)(2) a = (l,3,) = (-2,-23,2)(7) = (0,7,l), = (7,0,l)1 _ 122 22 8(3) = (1,-1,虚)=(a,0,0)(4) = (-3,3,7),/? = (-1,2,0)9_ 95 25 5 5(5) = (TJl)* = (0,1,1)(8) = (3,-1,1), = (0,1,0)8S词=篇P岛=弋(9) 4 = (1,1,0)/= (2,2,1)(10)。= (

9、1,3),Z? = (l,-3,3)/ , ah 119:麻7立体几何空间向量题型一利用空间向量证明空间平行与垂直关索例1.如图所示，平面B4Q_L平面ABCD, ABa)为正方形，/VLD是直角三角形，且PA = AD = 2, E, F,G分别是线段PA, PDeQ的中点，(1)求证：PB/平面EFG ；(2)证明：平面瓦G/平面P8C.例2.如图所示，正三棱柱(底面为正三角形的直三棱柱)A8C-4与G的所有棱长都为2, 。为CG的中点，求证：abL平面ABo .例3.如图，在正方形Aes-A4GA中，瓦厂分别为Co的中点，利用空间向量解决如下问题:求证：DlFlDEi (2)求证：。尸J

10、平面ADE题型二、利用全间向量斛决空间角和跖离问题例 L 已知 P-A5C。中，尸A_L平面 ABC。，R PA = AB = 2,AD = 4 ,底面 ANC。为矩 形，E为BC的中点，尸是尸Q的中点.(1)求异面直线CF与AE所成角的余弦值；(2)求二面角B-PC-D的余弦值；(3)求CF与平面PBC所成角的正弦值；(4)求F到平面PBC的距离.例 2.如图，在三棱柱 ABC-A4G 中，BAC = 90 ,AB = AC = 2,A1=4, A 在底面ABC的射影为BC的中点，。为gG的中点.证明:AQ_L平面AIBC；(2)求直线A1B和平面BBGC所成的角的正弦值.(3)求二面角A

11、- 8。一片的平面角的余弦值.(-1) 8例3.如图，四棱柱ABC。A4CA的底面ABC。是正方形，O为底面中心，4。，平面ABCD, AB = AAi =2.(1)证明：A1CL 平面 8gA。；求平面OCBl与平面BBQQ的夹角6的大小.(5)相关练习1 .如图，四棱锥P-ABC。中，底面ABC。是矩形，PAA.AB, PALAD AD = X,AB =母,尸AB是等腰三角形，点E是棱PB的中点，则异面直线EC与尸。所成角2 .三棱柱ABC-ABiG中，A8C为等边三角形，AA _L平面ABC, AAi=AB, N,M分别是Aq,A1G的中点，则AM与BN所成角的余弦值为（ C ）A.B.

12、-105c W3 .已知四棱锥S-ABeo的底面是正方形且侧棱长与底面边长都相等，E是SB的中点，则AE, SD所成的角的余弦值为（ C ）4 .己知正方体ABC。AgGO中，P为线段G。上的动点，则直线8C与直线AP所成角的余弦值的取值范围为（A ）5 .如图所示，SA是四棱锥S-A5CI的高，四边形ABC。为正方形，点M是线段SB的中点，ZSDA = 45 .(1)求证：AM ISC ；(2)若点N是线段BC上靠近C的四等分点，求直线AB与平面AMN所成角的正弦值.本题答案：(2) 3 346 .如图，四棱锥S-ABCD中，AD/BC, ADAS, Ar = 2, CD = c，AB=BC

13、 = AS = X, ZSAB = -.3(2)求直线Co与平面SAC所成角的正弦值.本题答案：(2)匝77 .在正四棱柱ABC3 中，Ai=2AB = 2t E为CG的中点.求证：AG/平面8OE；(2)求证：4七，平面3DE；(3)若尸为3B上的动点，使直线AIF与平面BOE所成角的正弦值是05,求。尸的长.3本题答案：(3)8 .如图，已知长方体ABCD-A4GR中，AB = AD = 1 AA=2,点G为CG中(1)求直线AD1与平面ABCD所成角的正切值;(2)求异面直线AG与BG所成角大小。【答案】(1)2：(2) y9 .如图，ABCo是平行四边形，AP_L平面 ABC。，BEH

14、AP，AB = AP = 2,BE = BC = , ZCBA = 60 .（2）求直线PC与平面QABE所成角的正弦值【答案】（1）见解析；（2）叵.1410 如图,直三棱柱 ABC - AlgG 中,AB J_ AC, AB = , AC = 2, AAi = 2, D, E 分别为（1）证明:G。/平面ABE；（2）求Ca与平面ABE所成角的正弦值.【答案】（1）见解析；（2）与11 如图所示，已知48为圆。的直径，且AB = 4，点。为线段上一点，且AQ = g8,点C为圆。上一点，且BC = &AC.点户在圆。所在平面上的正投影为点D，PD=DB.(1)求证：CD_L平面Q48；(2)求直线PC与平面PAB所成的角.【答案】(1)见解析；(2) 3012 如图，在三棱锥。-ABC中，DA = DB = DC, O在底面ABC上的射影E在AC 上，DF工AB于尸.(1)求证：BC平行平面)石尸，平面ZM5 _L平面Z)E尸；(2)若ZBAC = ZDC = y ,求直线BE与平面ZMB所成角的正弦值.【答案】(1)详见