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1、中点模型知识精讲I.在等腰三角形中有底边中点或证明底边中点时,可以作底边的中线,利用等腰三角形的“三线合一”性质来解决问题.例:已知:在AABC中,AB=AC,取BC的中点D,连接AD,则AD平分NBAC,AD是边BC上的高,AD是BC边上的中线.2 .在直角三向形中,有斜边中点或有斜边的倍分关系线段时,可以作斜边的中线解决问题,例:如图,在R1AABC中,D为斜边AB的中点,连接CD,则CD=AD=BD.如图,在RtAABC中,AB=2BC,作斜边AB上的中线CD,则AD=BD=CD=BC,ZBCD是等边三角形.34 .将三角形的中线延长一倍,构造全等三角形或平行四边形(倍长中线),例:如图
2、,在aABC中,AD为ABC的中线,延长AD至点E,使得DE=AD,连接BE,则4ADC4EDB.(2)如图,在AABC中,AD为AABC的中线,延长AD至点E,使得DE=AD,连接BE,则四边形ABEC是平行四边形.5 .将三角形中线上的一部分延长一倍,构造全等三角形或平行四边形,例:如图,已知点E是AABcZ16C中线AD上的一点,延长AD至点E使得DE=DF0E=。/,连接BF、CF,则四边形BFCE为平行四边形或ABDFgACDE或ABEDgZkCFD.6 .有以线段中点为端点的线段时,可以倍长此线段,构造全等三角形或平行四边形,例:如图,已知点C为AABE边AE上一点,O为AB的中点
3、,延长Co至点D,使得OD=C0,连接AD、BD,则力。之ZBOO,COBDOA,四边形ADBC为平行四边形.78 .有三角形中线时,可过中点所在的边的两端点向中线作垂线,构造全等三角形,例:如图,AF为AABC的中线,作BD_1AF交AF延长线于点D,作CE_1AF于点E,PJBDNCEN.9 .有两个(或两个以上)中点时,连接任意两个中点可得三角形的中位线,例:如图,D、E、F分别为AABC三边中点,连接DE、DF、EF,则。F幺DEsAC,EFAB-22210 .有一边中点,并且在已知或求证中涉及线段的倍分关系时,可以取另一边的中点,构造三角形的中位线,例:如图,点E是AABC边BC的中
4、点,取AC的中点F,连接EF,则EFAB,EF=%AB9.当圆心与弧(或弦)的中点,可以利用垂径定理解决问题,例:如图,AB=BC连接AC、OB,贝IJoBJ_AC,OB平分AC.如图,点C为弦AB的中点,连接OC,则OC_1AB针对训练1. 如图所示,在AABC中,AB=AC=5,BC=6,M为BC的中点,MN_1AC于点N,则MN等于_2.3. 如图,的半径为5,AB为弦,点C为我的中点,若NABC=30,则弦AB的长为4.5. 如图,在aABC中,ZACB=60o,AC=I,D是AB的中点,E是BC上一点,若DE平分aABC6.7. 如图,过矩形ABCD的顶点A作直线,交BC的延长线于点
5、E,F是AE的中点,连接FC、FD.求8.9. 在AABC中,D为BC的中点,延长AD至点E,延长AB交CE的延长线于点P,若AD=2DE,求78 .如图,AD是AABC的中线,E是AD的中点,F是BE延长线与AC的交点,求”的值.FC9 如图,在矩形ABCD中,E为CB延长线-点且AC=CE,F为AE的中点,求证:BFFD.10如图,在aABC中,NBAC=90o,AB=AC,AD=CD,AF_1BD于点E交BC于点F,求证:BF=2FC.1112 .如图,在四边形ABCD中,E为AB上的一点,ZXADE和aBCE都是等边三角形,AB、BC、CD、DA的中点分别为P、Q、M、N,试判断四边形PQMN的形状.1314 .如图,P是圆O外的一点,过P点引两条割线PAB、PCD,点M、N分别是第、的中点,连接MN分别交AB、CD于点E、F.求证:APEF是等腰三角形:若点P在圆上或圆内,其他条件不变,结论还能成立吗?