二项式定理知识点总结.docx

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1、二项式定理1 .二项龙定理：(a + b)n = CM + Can-b + + Clan-kbk + + C( e N*),2 .基本概念：二项式展开式：右边的多项式叫做伍十与”的二项展开式.二项式系数:展开式中各项的系数c： a=oj,2, ,).项数：共(4+ 1)项，是关于与匕的齐次多项式.通项：展开式中的第+ 1项C叫做二项式展开式的通项。用心I=C表示.3、注意关键点：项数：展开式中总共有( + 1)项.顺序：注意正确选择。力淇顺序不能更改,伍+ 0)”与S + )”是不同的.指数：。的指数从逐项减到0,是降幕排列法的指数从0逐项减到，是升幕排列;各项 的次数和等于近系数：注意正确区

2、分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是,C：,，c;.项的系数是。与匕的系数(包括二项式系数).4.常用的结论：令 a = l,b = x,(lx)=C + C + C2 +Ca + +Cz,(*)令 = l = r, (1-x)m =C-C + C2- +Ca + +(-1)Ck(衣 V)5、性质:二项式系数的对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即C c：=Cr二项式系数和：令=力=1,则二项式系数的和为c：+c：+c：+ +G+ +c; = 2，变形式 c：+c；+ +c* +q = 2-L奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和: 在二项式定理中，令 = 12 = -1

3、,则 C， C： + C”C：+ +(1)G；=(1 i)=o, 从而得到：C+G+C：+cf+=C+ C+ +C；z+. = ；x2“ = 2奇数项的系数和与偶数项的系数和：(a + x)n = C,x0 + CajX + C,2x2 + + C0xm = a0 + 4父 + a1x1 + + altxn(x + a)n = C0xz, + CaXZ + cyxn-2 + + Cx0 = a,lxn + + a2x2 + a.xl + a0令3 = 1,贝必。+%+/+% +%=( + 1)令X = T,贝M) _q +a2-a3+ +4. =(a-y,+得Mo +4+4 +凡=3 + D

4、；ST)”(奇数项的系数和)-得,G + % + % + / = S + 1)”T)” (偶数项的系数和) n二项式系数的最大项：如果二项式的鼎指数是偶数时，则中间一项的二项式系数C；取-1 -+1得最大值.如果二项式的易指数是奇数时，则中间两项的二项式系数c7,c3同时取得最 大值.系数的最大项：求(。+版)展开式中最大的项，一般采用待定系数法。设展开式中各项系数分别为A,4,A用，设第4+1项系数最大，应有a+,” ,从而解出左来.lA+ 4+2题型一基础题型例1.在二项式(2x + 3K)的展开式中： X(1)写出其二项式展开式的通项Tr+i ；区川=Go(2尤)回，(Jy = 2,0-

5、, C1;x,0-2r) X(2)二项式系数之和；(2, = 1024)(3)项的系数之和；(3K)(4)二项式系数最大的项是第几项？请写出来；二项式系数最大的项为第6项，为7；=CM2x)T(L)5 =品)2, =8064X(5)项的系数最大的项是第几项？请写出来;设项的系数最大的项为第r+1项，则满足4+I=Co(2x) j(L) =C12K)Q , X系数最大满足!Cr . 21-，CE . 2o-+DC1;. 2,0- C171.2IO-(r-l)解得：r,且rN,可取尸=3,知系数最大项为(二。？,/= 15360/.(6)常数项是第几项？请写出来;(7；+1 =C1;(2x),0-

6、r(-)r =2,0-rC1,00-2f,当 10-2r = 0 时，r = 5,为第 6 项， X4=%(2 劝 IXd)S= %25 =8064) X(7)展开式中f项的二项式系数为多少？项的系数为多少？(7=C0(2x严(3=2-。；OMO当10-2r = 8时，r= 1.此时，二项式系数为 XC1,o=lO,项的系数为2。Co =5120)相关练习：1.在“一力”的展开式中，求：通项(2)二项式系数最大的项；(3)项的系数绝对值最大的项；(4)项的系数最大的项；(5)项的系数最小的项；(6)二项式系数之和； (7)各项的系数的和.本题答案：(2)7； = (-I)5C151x-5/=-

7、462/；7； =(-l)6C161x,6/ =462x5/ ；(3)7； = (-l)5C151x1,-5 = -462V =(一1)6CW6 = 462x5/；(4)(二4625y6;4=-462V;(6)2 =2048；(7)0 = 0.2 .已知(7+赤J的展开式中前三项的系数成等差数列.求展开式中二项式系数最大的项；(2)求展开式中的有理项.35 二1本题答案：= 8,3 ； (2)( =-v 758 v f 9 256x43 .(x + 2)的展开式中，一的系数等于.(用数字作答)(80)的二项式展开式中，常数项是.(用数字作答)(760)5 .若二项式(2x + ()的展开式中J

8、7的系数为84,则实数a = ( C )A.2B.4CD.46 .(；x2y)的展开式中Vy3的系数为(A )A-20B.-5C.5D.207 .已知(l+x)”的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为 (D ) A2,2R2C.2,0D.298 .使得(3“+十)5N*)的展开式中含有常数项的最小的为(B )AA3.5C.6D.79 .在(l+2x)K)的展开式中，系数最大的项为第 项.(C )A6BnC.8D910 .已知(GV ( 的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是10:1.求在展开式中含f的项；(2)求展开式中系数最大的项. 3本题答案：(1)4=-1

9、6/；(2)7；=1792f1211 .已知()+3/、的展开式中，各项系数和与它的二项式系数和的比为32.求展开式中二项式系数最大的项；(2)求展开式中系数最大的项. 2226本题答案：(=9(*z =270”;(2)7； =405jJ题型二赋值类题型例 1.已知(l-2x)7 = 4+ N+/+ +7x7求：；(2) 6 + / + 生 + + % ；(3)al + 生 + % +。7 ；(4)0+2a4+a6; IaOI +1 q I +1 % I + +1 % I ；_1_1 I Q7本题答案：(1)1； (2)-2； (3)= -1094： (4)= 1093； (5)2187.22

10、例2.设(2x-l)”=/+alx + a2x2 + + anxn展开式只有第IOIO项的二项式系数最大.求力；求同+同+同+ +Kh求4+与+ +%.v 72 22 232”本题答案：(1) = 2018;32o,(3)-1.相关练习:1 .已知(l-x + 2) (一2/)=4+4工 + /+ +1414,求q+%+%+ +4彳的值.本题答案：-132 .已知(3X 1Y = % + x + a2x2 + + x8,则 ay+a3 + a5+ a1 的值为本题答案：(28-48)3 .已知(V +2)9 =a0 + 6f1(x-l) + a2(x-l) + +all(x-l),则4+生+

11、4的值为(B )AOB.2C.255D.-24 .设(2x +J) = 6r0 + alx + a2x2 + a3x3 + 6Z4x4 ,则(/ + / +%)? 一(4 +/)?的值为(A )A16B. 16CD-I5 .若(2 - 3x) =0 + ayx + a2x2 + o3jc, + a4x4 + a5x5，则+同+同+同+同等于 A )A 55R-IC.25D.-256 .若(1 一2X4 = a0 +1x+ 42,4，则(% + 4 ) + (% + % ) + (4 +。2014 )=本题答案：20147 .若 C架 6=GU(neN),且(2-x)” =%+ qx + %/+

12、 +anxnf则。0-。+2+ (T)Z 等于(A )A81B.27C.243).7298 .若(2X -1)013 = + ax + a2x2 + + a2013x2013(x ?),则2+等-+手+-= ( D )2 221 2301220,3t1aB.2013C.40269 .已知(1 + 力 + (1 + 工)2+ +(l + x)” =/+ qx+ + allxt,若 4+%+ + an- = 29 - /?,则的值为(B )A38.4C.5D.610 .若(J7一六 展开式中偶数项系数和为一256,则 =(C )A75.8C.9D.1011 .(与导数相关,高二学生可以不掌握)若(

13、2x-3) =a0 + a1x + a2x2 + 03x3 + a4x4 +5x5,则 4 + a1+ Ia2 + 3% + 4% + 5% 的值是( D )AlOB20C.233D.-23312 . (x+l)2(x+2)205 a0 + al(x+2) + a2(x + 2)2 +- 2017 ( + 2)207 ,求 A$+ . + 器的 值.本题答案：题型三：( + 0)(c + d)”型例L(X2-21-3)(标-1)6的展开式中，含V项的系数为.本题答案：348例2. (3x+ I)(T-Ij的展开式中的常数项为.本题答案：14 相关练习：1 . (l+X + f)(I-X)5的展

14、开式中，/项的系数为本题答案：52 . (2+l)(-2)7的展开式中F项的系数为.本题答案：10083 .(X-I)(X+I)*的展开式中5的系数为.本题答案：144 .(x-y)(x+y)8的展开式中，丁了的系数为本题答案：一205 . (1-幻3(2/+)5的展开式中，/的系数为本题答案：136 .(1+2x)3(1-x)4的展开式中X的系数为.本题答案：2题型四：含三项或者多项的二项式展开式例.(l + x + j的展开式中常数项为.本题答案：19例2.在(f+3x + 2)5的展开式中，X的系数为.本题答案：240相关练习：L在卜-g-lj的展开式中，常数项为.本题答案：-52. (/+y)5的展开式中/J的系数为( C )AlOB.20C.30D.603. (l + 2x-3)5的展开式中，/的系数为.4. 在(2 + ! +立)5的展开式中整理后的常数项为 2 X本题