解三角形知识点总结及典型例题自己总结的1111.docx

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1、解三角形知识点总结及典型例题一、知识点复习1,正弦定理及其变形一=竺=2R（R为三角形外接圆半径）SinAsinBSinC（1）a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC（边化角公式）（2）sinA=-,sinB=,sinC=-（角化边公式）2R2R2R/c、.4.八.八/八4sinAasinAbsinB（3）abcsinA:sinB:sinC（4）=,=,=bsinBcsinCcsinC2,正弦定理适用状况：（1）已知两角及任一边（2）已知两边和一边的对角（须要推断三角形解的状况）已知小，和人求6时的解的状况：在力比中，已知&b,1（两边及其中一边所对的角）A为锐角A为钝角或直角a

2、bsinAa-bsixA加in/abAb无解一解两解一解一解无解假如SinAsin8,则8有唯一解;假如SinAVSinSv1,则8有两解;假如SinB=1则6有唯一解;假如sin31,则8无解.3,余弦定理及其推论a1=b2+c2-IbccQSAh2=a2+c2-2accosBc2=a2+b2-2abcosCIy4,余弦定理适用状况：(1)已知两边及夹角；(2)已知三边.5,常用的三角形面积公式；(2)Sbc=-absiC=hcsinA=casinB(两边夹一角).6,三角形中常用结论(1)+bc,O+c,4+c伙即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边)；(2)在A3C,A3o?OSinA

3、sin3(即大边对大角，大角对大边).(3)在ZABC中,A+B-C=9所以Sin(A+B)=sinC;cos(A+B)=-cosC;tan(A+B)=-tanC.A+BCA+B.Csin=cos,cos=sin2222二，典型例题题型1边角互化例1在A3C中，若SinA:sin3:SinC=3:5:7,则角C的度数为【解析】由正弦定理可得:Z?:c=3:5:7,令C依次为3、5、7,则COSC=-12因为OVCV万，所以。=2乃3例2若a,b,C是A3C的三边，f(x)=h2x2+(b2+c2-a2)x+C2,则函数f(x)的图象及X轴()A,有两个交点B,有一个交点C,没有交点D,至少有一

4、个交点【解析】由余弦定理得+2=2AcosA,所以f(x)=b2x2+2bccosAx+c2=(bx+ccosA)2+c2-c2cos2A,因为CoS?A0,因此AX)0恒成立，所以其图像及X轴没有交点。题型2三角形解的个数例3在WC中，分别依据下列条件解三角形，其中有两解的是()A,a=7,=14,4=30。；B,Z?=25,c=30,C=150o;C,Z?=4,c=5,B=30；D,a=6,b=43,B=60oo题型3面积问题例4A8C的一个内角为120。，并且三边构成公差为4的等差数列，则A3C的面积为【解析】设AABC的三边分别：-4,x,x+4,/0120,由余弦定理得：(x+4)2

5、=(-4)2+2-2(-4)CoSI2()。，解得：x=10,.A3C三边分别为6,10,14,qjabc=-sinC=-610-=153222题型4推断三角形形态例5在A5C中,已知(/+02).sin(A-8)=(/一)sin(A+8),推断该三角形的形态。【解析】把已知等式都化为角的等式或都化为边的等式。方法-1:62sin(A一8)-Sin(A+B)=2-sin(A+)-sin(A-B):.2a2cosASin8=2b2cosBsinA由正弦定理，即知sin?AcosAsinB=sin2BcosBsinA.,.sinASinB(SinACOSA-SinBcosB)=O.sin2A=si

6、n2B由0v2A282,得2A=28或2A=乃一23,即3C为等腰三角形或直角三角形.方法二：同上可得2/cosAsin8=cosBsinA由正，余弦定理，即得：AF士，2bcIac:.a2(b2+c2-a2)=b2(a2+c2-b2)BP(a2-b2)(c2-a2-b2)=O.4=b或c。=a2+Z?2,即A8C为等腰三角形或直角三角形.【点拨】推断三角形形态问题，一是应用正弦定理，余弦定理将已知条件转化为边及边之间的关系，通过因式分解等方法化简得到边及边关系式，从而推断出三角形的形态;(角化边)二是应用正弦定理，余弦定理将已知条件转化为角及角之间三角函数的关系，通过三角恒等变形以及三角形内

7、角和定理得到内角之间的关系，从而推断出三角形的形态。(边化角)题型5正弦定理，余弦定理的综合运用例6在A5C中,a,。,C分别为角A.8,C的对边，JS1sinA+sinC=psinB(p7?)JE1(1)当时，求a,c的值；(2)若角8为锐角，求的取值范围。【解析】(1)由题设并由正弦定理，得，解得，或(2)由余弦定理，b2=a2+c2-2accosB-(a+c)2-2ac-2ccosB=p2b2-b2-b2cosB22即，因为OVCOS50,所以.三，课堂练习：1,满意A=45,c=6,4=2的ABC的个数为阳，则d为.2、已知=51=5g,A=30o,解三角形。3,在ABC中，已知=4c

8、m,b=xcm,A=60o,假如利用正弦定理解三角形有两解,贝曲的取值范围是()A,x4B,0x4C,D,4、在A8C中，若则角C=.5,设R是A8C外接圆的半径，且2R(sin2A-Sin2C)=(2-)sin,试求A5C面积的最大值。6,在A8C中，。为边BC上一点，80=33,求A7,在A3C中，已知,0,c分别为角A,8,C的对边，若，试确定8C形态。8,在A3C中，,4c分别为角A8,C的对边，已知吧七分=ZEaCoSBb(1)求；(2)若求ABC的面积。四，课后作业1,在ABC中，若(+b+c)S+c-a)=%c,且SinA=2sinBcosC,则A8C是A,等边三角形B,钝角三角形C,直角三角形D,等腰直角三角形2, A3C中若面积S=则角C=3,清源山是国家级风景名胜区，山顶有一铁塔A8,在塔顶A处测得山下水平面上一点。的俯角为Q，在塔底8处测得点C的俯角为，若铁塔的高为力加，则清源山的高度为加OA,B,C,D,4、ABC的三个内角为A、B、C,求当A为何值时，取得最大值，并求出这个最大值。5,在A8C中，淮河分别为角人、B、C的对边，且满意CSinA=cosC(1)求角C的大小(2)求的最大值，并求取得最大值时角A8的大小。