第二课时 指数函数的图象和性质(二).docx

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1、第二课时指数函数的图象和性质(二)课标要求素养要求1 .进一步熟练掌握指数函数的图象、性质.2 .会求指数形式的函数定义域、值域、最值，以及能判断与证明单调性.3 .能够利用指数函数的图象和性质比较数的大小、解不等式.1 .通过例题进一步深入理解指数函数的单调性及其应用，发展学生的逻辑推理素养.2 .借助指数函数的性质，研究指数型函数的相关问题，发展学生的数学运算及数学抽象素养.课前预习知识探究自主梳理1 .底数与指数函数图象的关系(1)由指数函数y=的图象与直线X=I相交于点(1,)可知，在y轴右侧，图象从工到上相应的底数由小变大.(2)由指数函数y=优的图象与直线x=-1相交于点(一1,5

2、)可知，在y轴左侧,图象从下到上相应的底数由大变小.如图所示，指数函数底数的大小关系为O443b的不等式，可将6化为以。为底数的指数基的形式，再借助y=0的单调性求解;(3)形如的不等式，可借助两函数y=，y=的图象求解.3 .与指数函数复合的函数单调性一般地，形如y=(O,且1)函数的性质有：(1)函数p=z与函数V=ZrX)有相同的定义域.(2)当1时，函数P=/0与=Ax)具有相同的单调性;当OV1VI时，函数=与=%)具有抽反的单调性.自主检验1.思考辨析，判断正误(1)y=21是R上的增函数.(X)提示函数y=21x=(0是R上的减函数.(2)若0.1f10.V,则a6.(X)提示因

3、为00.1v1,y=0.1x为减函数，V=(?在(一8，+8)上为减函数，y=(g)在(-8,+8)上是增函数，.选A.3 .若2*+y,则X的取值范围是.答案(一8,-1)解析V2+11=20,且y=2*是增函数，.x+10,.x1._44 .比较大小：3(3答案V4n3444解析因为y=右，所以利用指数函数的单调性有兀一了石.课堂互动题型剖析题型一比较两数的大小【例11(1)下列大小关系正确的是()A.0.433040B.O.43o3o4C.3o4O,43oD.0304=0.615,c=1.506,则a,b,C的大小关系是()A.ahcB.achC.bacD.bca答案(I)B(2)C解析

4、(1)0.430.4=1=兀=315=1,O.6o60.66,又函数y=06在(一8,十8)上是减函数，且150.6,所以0.6】5-.-.(I)(|)4(2)考查函数y=(g.0*1,，函数在(一8,十8)上是减函数，又一(3=1(3)。8尸=售)2=g)2.:函数V=O在(一8,+8)上是增函数，-12-(I)XI)即C)a小尸.题型二解简单的指数不等式例2(1)不等式七)2的解集为.(2)已知Qx产7(0,且工1),求X的取值范围.答案xxO(1)解析V2=(1),原不等式可化为8)Q,函数y=g)在R上是减函数，3x11,xO,故原不等式的解集是xx2O.-7.6;4ax+7977-6

5、-,.*.-5x一综上所述，当Q1时，X的不等式，借助于函数y=4*的单调性求解，如果4的取值不确定，要对a分为Ovqv1和两种情况分类讨论.(2)形如出泌的不等式，注意将6转化为以为底数的指数氟的形式，再借助于函数y=的单调性求解.【训练2不等式源+公一4WT的解集为()A.-1,3B.-3,-1C.-3,1D.1,3(2)若存在正实数X使2%-)1,则。的取值范围是()A.(8,+)B.(2,+)C.(0,+)D.(-1,+)答案(I)C(2)D解析(1)V2x2+2x-4,2x2+2x-421,.*.x2+2x-41,x2+2x-30,解得一3rW1,.不等式的解集为-3,1,故选C.由

6、2x(xa)-7(x0),令TW=X-*,即次X)有解，贝IJa次X)min.又人)在(0,+8)上是增函数，JU)(O)=-1，一1.故选D.题型三指数型函数的单调性【例3求出下列函数的单调区间：()y=za-2+3x2(a1);(2)y=2,J-x22x+3；(3)=12+2x-4/o2解(1)设=-2+3+2=-(-)+，易知在(一8,3上是增函数，在|,+8)上是减函数.当a时，y=”在R上单调递增， 沙=。f+3%+2在(-8,1)上是增函数，在|,+8)上是减函数.(2)Vx22x+30,x2-2-30,1x3, 函数的定义域为1,3.设=、-x2+2x+3=-(x1)+4,易知在

7、1,1)上单调递增，在1,3上单调递减，且y=2在R上单调递增， 函数y=2d-*+2x+3在-1,1上单调递增，在1,3上单调递减.(3)令Z=2,则尸yi2+T由12+f220,得一3f4,即一3W2Y4=22,BPx2.又f=2*在R上单调递增，而y=712+t-p=J-“-y+岑在一3,3上单调递增，在g，4上单调递减， 少=12+2_牛在(_8,一D上单调递增，在-1,2上单调递减.思维升华由于指数函数的单调性与底数有关，因此讨论指数函数的单调性时，一定要明确底数与1的大小关系.其解决方法一般是利用函数单调性的定义.特别地，(1)对于形如(x)=g(x)(a(),且W1)的函数，可以

8、利用复合函数的单调性，转化为指数函数y=及函数g(x)的单调性来处理.对于形如=/(。丫)的复合函数，可令炉=P,由内层函数f=炉及外层函数y=/的单调性来处理.【训练3】求於)=g2”的单调区间，并求其值域.解令=x2-2x,则原函数变为=(；).VW=X2-2x=(-1)21在(-8,1上递减，在口，+8)上递增，又,Y=O在(-8,+8)上递减，f2xy=jJ在(-8,1上递增，在口，+8)上递减.Vw=x2-2x=(-1)21-1, ,=(；),w-1,+), MB%)=3， 原函数的值域为(0,3.题型四指数函数性质的综合应用【例4已知定义在R上的函数/(x)=+*是奇函数.求。的值

9、；(2)判断/(x)的单调性(不需要写出理由)；(3)若对任意的ZR,不等式(2-2)+y(22-4)0恒成立，求实数Z的取值范围.解(1)%x)的定义域为R，且人口为奇函数，.)=0,即2=0,=一,(2)由(1)知y(x)=-+z-,故火幻在R上为减函数.(3)x)为奇函数,.f(2-2t)+2t2-c)k-2F,即3尸一2/一心0对于一切fR恒成立，J=4+12K0,得上一上，左的取值范围是(一8,一；).思维升华解决指数函数性质的综合问题的注意点(1)注意代数式的变形，如分式通分、因式分解、配方法、分母(或分子)有理化等变形技巧.(2)解答函数问题注意应在函数定义域内进行.(3)由于指

10、数函数单调性与底数有关，因此要注意是否需要讨论.【训练4已知函数兀V)=Q匕+目。.(1)求/(x)的定义域；(2)讨论/(x)的奇偶性；(3)证明:J(x)Q.(1)解由题意得2*-1W0,即XW0, 危)的定义域为(一8,0)U(0,+).(2)解由(1)知，./(X)的定义域关于原点对称.人/IJ2+1za令g(x)=2x_+1=2，9(x)=x,则yu)=g)s) 2v+11+2 *g(-X)=2(2x-1)=2(1-2=_g()，(x)=(x)3=-X3=一(x),-)=g(-)(-)=-g()-()=g()FX)，1()=(丞匕+T)3为偶函数.证明当x0时，2A,Vx30,/.x

11、)0.由偶函数的图象关于歹轴对称，知当XVo时J(X)X)也成立.故对于X6(一8,0)1J(0,+o),恒有段)0.课堂小结1 .比较两个指数式值大小的主要方法(1)比较形如#与4的大小，可运用指数函数y=4*的单调性.(2)比较形如m与的大小，一般找一个“中间值c，若amc且cb,f则amc且则叫护.2 .解简单指数不等式问题的关键是利用指数函数的单调性转化为一般不等式，有时需要对底数进行讨论，有时需借助图象求解.素养提升分层训练基础达标一、选择题A.奇函数且在（0,B.偶函数且在（0,C.奇函数且在（0,D.偶函数且在（0,答案D+8）上是增函数+8）上是增函数+8）上是减函数+8）上是

12、减函数解析由xR且八一X）=/U）知兀r）是偶函数,当o时，yw=（g）是减函数.C.(-8,1)D.1-8,-J答案A解析函数y=G)在R上为减函数，所以2+18-2m所以心,故选A.3 .已知=32,Z=0.23,c=(-3)02,则,b,C的大小关系为()A.abcB.bacC.cabD.bca答案B解析=302(1,3),6=0.27=(/)=53=125,c=(3严=(-3);ac.4 .已知(O.62)(1.26)J则的取值范围是()A.（0,+）B.（-,O）C.（1,+）D.（-,1）答案B解析由指数函数y=06是减函数知，006-21.20=1,所以062=片，由（0.612产（1.2。,6尸知，幕函数在第一象限内应为减函数，故KO.5 .若函数/（x）=d（0且W1）在-1,2上的最大值为4,最小值为?，且函数g（x）=（1-4机）也在0,+8）上是增函数，则。的值为（）A.4B.2C-Dv2u4答案D解析由函数8（%）=（1一4m）