第二课时 指数函数图象与性质的综合应用.docx

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1、第二课时指数函数图象与性质的综合应用课标要求素养要求1 .进一步熟练掌握指数函数的图象、性质.2 .会求指数型函数的定义域、值域、最值，以及能判断与证明单调性.3能用指数函数解决实际问题.借助指数函数的性质，研究指数型函数的有关问题，发展数学抽象素养、逻辑推理素养和数学运算素养；通过指数函数解决实际问题，发展数学建模素养.课前预习知识探究自主梳理1 .在实际问题中，经常遇到指数增长模型，形如y=而(ZR,且2W0；aQfa1)的函数是刻画指数增长或指数衰减变化规律的非常有用的函数模型.2 .指数函数y=出(0,1)的图象与性质aOVa1;当x0时，0v1；当x0时,0y1当xO,oW1)的单调

2、性？(1)定义法，即“取值一作差一变形一定号”.其中，在定号过程中需要用到指数函数的单调性；(2)利用复合函数的单调性“同增异减”的规律.自主检验1 .思考辨析，判断正误(1)y=2r是R上的增函数.(X)提示y=2r=(0是R上的减函数.(2)某企业生产总值的月平均增长率为p,则年平均增长率为(1+p严一1.()当时，函数y=与y=U)的单调性相反.(X)提示由复合函数单调性“同增异减”知y=Hw与y=(x)在A1时具有相同的单调性.(4)若2+V1,则XV-1(J)2 .函数段)=3产的定义域为()A.(-8,1)B.(-8,1C.1,)D.(1,+)答案C解析由X12O可得x21,所以函

3、数兀0=3FT的定义域为1,+8).3 .己知某种细菌在培养过程中，每20min繁殖一次，经过一次繁殖1个细菌变成2个，经过3h,这种细菌由1个可繁殖成()A.5U个B.512个C.1023个D.1024个答案B解析因为3h=(9X20)min,所以这种细菌由1个可繁殖成29=512(个).3A-24 .己知函数/)=箕丁为奇函数，则的值为.答案2n2O(3X1)解析由五0)=干=0,解得n=2i当=2时，/)=存j,易证其是奇函数.课堂互动题型剖析题型一指数型函数的定义域、值域【例1】求下列函数的定义域和值域：1(1)y=2-；y=1;(3)y=(jJ；(4=中+2日】+1.解(1)由X4W

4、0,得x#4,1故y=2二的定义域为MxR,且x4.又占#0,所以2六M1，1故y=2二的值域为yy0,且yW1.(2)由1一由20,得21,x0,y=-2A.的定义域为(一8,0.由O2W1,得一1一2M),01-2x1,故函数的值域为yy1.思维升华对于y=4x)(O,1)这类函数，定义域是使/U)有意义的X的取值范围；求值域问题，有以下三种方法：由定义域求出=)的值域；利用指数函数y=的单调性求得此函数的值域.求形如y=Ad+B个+C类函数的值域一般用换元法，设优=QX),再转化为二次函数求值域.【训练1(1)函数7U)=、12T方旨的定义域为(B.(-3,IA.(-3,0C.(-8,-

5、3)U(-3,0D.(-8,-3)U(-3,1(2)函数r)=(，一1,x-1,2的值域为.答案(I)A28-9,1-2v0,解析(1)由题意得自变量X应满足TICC解得一3440.x+30,28一夕(2)一1W*2,g)w3,一一1W2,值域为题型二指数函数单调性应用角度1解指数不等式【例2不等式出2的解集为.(2)已知f17mo,。三口，求X的取值范围.(1)答案小20解析V2=(),原不等式可化为Q.函数y=g)在R上是减函数，.31121xO,故原不等式的解集是4r2O.(2)解当1时，7*a5xac7,5xx+7,解得x一不当0aax+1,-5x一不.77综上所述，当a时，x当0aR

6、角度2指数型函数的单调性【例3】求yu)=(J的单调区间，并求其值域.解令W=X22x,则原函数变为=(；).Vw=x2-2x=(-I)21在(-8,1上递减,在1,+8)上递增,又Yy=(W)在(-8,+8)上递减，2,y=(9的单调递增区间是(-8,1J,单调递减区间是1,+).VM=X2-Zr=(X-I)2-1-1,.y=d,w-1,+)，。弱亳=3，原函数的值域为(0,3.思维升华1.解指数不等式的类型及应注意的问题(1)形如炉d的不等式，借助于函数)=的单调性求解，如果。的取值不确定，要对分为00,。W1)的单调性的处理技巧当a1时，y=H与y=(x)的单调性相同，当OtzTo8(2

7、、28当=8时，尸否X0=T64025T所以至少应过滤8次才能使产品达到市场要求.思维升华指数函数在实际问题中的应用与实际生活有关的问题，求解时应准确读懂题意，从实际问题中提取出模型转化为数学问题.(2)在实际问题中，经常会遇到指数增长模型：设基数为N,平均增长率为p,则对于经过时间X后的总量y可以用y=N(1+p尸来表示，这是非常有用的函数模型.【训练3】有一种树木栽植五年后可成材.在栽植后五年内，年增加20%,如果不砍伐，从第六年到第十年，年增长10%,现有两种砍伐方案：甲方案：栽植五年后不砍伐，等到十年后砍伐.乙方案：栽植五年后砍伐重栽，再过五年再砍伐一次.请计算后回答：十年内哪一个方案

8、可以得到较多的木材？(1.252.49,1下-1.6,1.325Q4)解设树林最初栽植量为a,甲方案在10年后树木产量为y=6f(1+20%)5(1+10%)5=(1.21.1)54a.乙方案在10年后树木产量为：y2=2a(1+20%)5=2a1.254.98.yi=4-4.9840,因此，乙方案能获得更多的木材(不考虑最初的树苗成本,只按成材的树木计算).题型四指数型函数性质的综合应用【例5】已知定义在R上的函数7U)=+*是奇函数.求。的值；判断应0的单调性(不需要写出理由)；若对任意的fR,不等式/22。+大2产一女)0恒成立，求实数Z的取值范围.解(i)yU)的定义域为R,且yu)为

9、奇函数，A0)=0,即+=0,，a=g.经检验，。=-3时，/)=一3+1由为奇函数.(2)由(1)知7U)=-T+*p故7U)在R上为减函数.(3).(x)为奇函数,优产2，)十犬2户一k-2?,即3i2-2t-k0对于一切fR恒成立，J=4+12K0,得一；(或可将原不等式转化为A3p-2对VR恒成立，即k(3P-2f)min=-3),2的取值范围是(-8,思维升华解决指数函数性质的综合问题的注意点(1)注意代数式的变形，如分式通分、因式分解、配方法、分母(或分子)有理化等变形技巧.解答函数问题注意应在函数定义域内进行.(3)由于指数函数单调性与底数有关，因此要注意是否需要讨论.【训练4】

10、已知函数O.解由题意得21-1W0,即X#0,.U)的定义域为(一8,0)U(0,+).(2)解由(1)知，式幻的定义域关于原点对称.I12+1令g(x)=五口+=2(2、一1)，e(x)=3,则/U)=g(x9)2r+11+2X,2Yg(-)2(2-1)=2(1-2v)=_g()，叭一幻=(一功=一/=一MX)，八-x)=g(一%)研-x)=-g(x)Pa)=g(x)0(x)=危)，,/W=Q-)”3为偶函数.(3)证明当心0时，2x1,/.2x10,.*.r+0.211当xo时o,当xo时，yu)o.由偶函数的图象关于y轴对称，知当xO也成立.故对于x(-8,o)(,+),恒有/U)o.课堂小结1 .掌握2种方法比较两个指数式值的大小的主要方法(1)比较形如a,n-。的大小，可运用y=，的单调性.(2)比较形如a,n与bn的大小，一般找一个“中间值cn.2 .关注2类易错点(1)求解函数兀)=谈(0,Q1)的单调性问题的注意点指数型函数的单调性与底数有关，因此讨论指数型函数的单调性时，一定要明确底数与1的大小关系.对于形如7U)=g3(a0,4#1)的函数，可以利用复合函数的单调性(同增异减)，由指数函数y=0及函数g(x)的单调性确定7U)的单调性.(2)解指数不等式问题