第二课时 单调性与最值.docx

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1、第二课时单调性与最值课标要求素养要求1 .掌握y=sinx,N=CoSX的最大值与最小值，并会求简单三角函数的值域和最值.2 .掌握y=sinx1y=cosX的单调性并能利用单调性比较大小.3 .会求函数y=Asin(x+9)及y=ZCOS(CM+9)的单调区间.借助V=SinX与y=cosX的图象，理清单调区间和取得最值的条件，构建直观模型，重点提升学生的直观想象、数学抽象、逻辑推理、数学运算素养.课前预习知识探究自主梳理正弦函数、余弦函数的图象和性质(表中左Z)正弦函数余弦函数图象yJ0-ZXY六二y、T/-t)s1-.值域1I,111I,11单调性在1+2加，J+2E1上单调递增,在住+

2、2E,争+2E上单调递减在F-+2E,2E1上单调递增,在2E,+2%上单调递减最值J1兀X=$+2k1J1时,Nmax=I;X=一+2E时,Jmin=-IX=2E时,Vmax=1;x=+2兀时，Jmin=11自主检验1 .思考辨析，判断正误(1)正弦函数、余弦函数在定义域内是单调函数.(X)提示正弦函数、余弦函数在定义域内不单调.(2)存在实数X,使得CoSX=(X)提示余弦函数最大值为1.(3)余弦函数y=cosx在O,上是减函数.(J)2 .函数y=2sinx取得最大值时X的值为.Tr答案一+2E(AZ)JT解析当SinX=-1,即x=+2E(%Z)时，函数y=2sinx的最大值为3.3

3、 .函数/)=/cos(一4的单调递减区间是.Tr5兀答案g+E,-g-HJ(ArZ)JT解析令2内cW2-彳/兀+2E,kef1,Tr571得d+4Wxb+E,kWZ,OO即4)的单调递减区间是,51,1g+E,勺+E(左Z).4 .sin250。与sin260。的大小关系为.答案sin250osin260解析Vsin250o=sin(180o+70o)=-sin70o,sin260o=sin(180。+80)=sin80,而sin70o-sin80o.,.sin250osin260o.-9课堂互动题型剖析题型一正弦、余弦函数的单调性【例1】求函数y=1+sin(5+/x14兀，4用的单调递

4、减区间.解y=1+sin(-$+彳)=-sin&-：)+1.Tt1TCt由2EgWp:wW2E+(%WZ).3解得4Zr-2x4Zr2Z).又.-4,4,.函数y=1+sin(-x的单调递减区间为思维升华用整体替换法求函数y=sin(cox+9)或y=cos(s+p)的单调区间时,如果式子中X的系数为负数，先利用诱导公式将X的系数变为正数再求其单调区间.求单调区间时，需将最终结果写成区间形式.【训练11求函数/)=2cos(2xW的单调递增区间.TT解令兀+2EW2x辞2仇左Z,5Tr解得T+E=sin(g4=_Sm布,13Icosy=CoS12一cos正.H=smw，Tr且y=sinx在0,

5、2上是增函数,30，.4,1I.smsm玉即sin-cosy.思维升华用正弦函数或余弦函数的单调性比较大小时，应先将异名化同名，把不在同一单调区间内的角用诱导公式转化到同一单调区间，再利用单调性来比较大小.【训练2比较下列各组数的大小:(1)sin(2)cos29.49苇-与sin-.(I)Sin(一5)=sin(sin()=sin(16+f)=sinTETrcos5T,.49.(.13.13sin-=sn14-1=sn.(.17A17=sno+-j=Cosv,.517兀pt2949兀cos-cosg,即cos-sm题型三正弦、余弦函数的最值（值域）问题角度1正弦、余弦函数的最值（值域）问题【

6、例31】求y=cos（x+看j,x0,，的值域.（,兀）兀】一9,兀兀2兀工+斜xo,1可得十%,y因为函数y=cosx在区间煮，与上单调递减，cos、=坐,cosy=-所以函数的值域为一；,角度2形如y=4sin2+6sinxC或y=4cos2+8cosx+C型的最值(值域)问题【例32】求y=cos2-4COSX+5的值域.解y=cos2%4cosx5,令Z=COSX,则一IWfW1y=P-4f+5=(12)2+1,当=1,函数取得最大值10；f=1时，函数取得最小值2,所以函数的值域为2,10.思维升华求三角函数值域或最值的常用方法形如y=sin(Gx+p)的三角函数，令t=x+s,根据

7、题中X的取值范围，求出/的取值范围，再利用三角函数的单调性、有界性求出y=sin/的最值(值域).(2)形如y=0si2+bsinx+c(W0)的三角函数，可先设=sinx,将函数y=4si2+bsinx+c(WO)化为关于t的二次函数y=P+4+c(0),根据二次函数的单调性求值域(最值).(3)对于形如y=4sinx(或J7=cosx)的函数的最值还要注意对a的讨论.31【训练3】若函数y=Q6COSX30)的最大值为最小值为一域求函数歹=-4acosbx的最值和最小正周期.解9y=aZjcosx(0),Jax=+b=5,)min=Q-b=-Z.y=-4。COSbx=-2cos%,所以函数

8、y=4CoSbX的最大值为2,最小值为一2,最小正周期为2.课堂小结1 .求函数y=4sin(x+p)(O,s0)单调区间的方法TFTT把ftr+g看成一个整体，由2一1W(x+9W2%7+5(左GZ)解出X的范围，所得区间即为单调递增区间，由2E+5s+衿2E+gZ)解出X的范围，所得区间即为单调递减区间.若0)在区间上单调递减，则口的取值范围是()2 3A.0B.023 3C.23D23答案D解析令5+2%WcoxW竽+2%兀，ZrZ,r兀,2A,3兀,2k,则丁+xz-+,左Z.22TTTT.函数於)=sinX(S0)在区间歹2上单调递减，兀j*-兀-3.3，*一.,乐45且诙2WgW3

9、.5 .（多选题）不同时具有以下3个性质：最小正周期为兀;图象关于直线X=女寸JrTr称；在一彳，W1上为增函数的函数是(),fx.(c兀、A.y=s1n5十B.y=sm12-C.y=cos(2x+1)D.y=sin(2x+聿答案ACD解析函数y=sin仔+的最小正周期为T=W=4兀，不满足，A符合题意；2函数Iy=Sin的最小正周期为=y=,满足，当X=W时，y=sin信一看)=1,取得最大值，所以X=是y=sin(2x一的一条对称轴，满足，TI-兀兀兀又XE不3时，2x-6e2,2，所以y=sin(2x1)在一/用上单调递增，满足，B不符合题意；函数N=cos(2x+在x一点,即2x+W0

10、,兀时单调递减，不满足，C符合题意；对于y=sin(2x+5),当X=W时，V=sin停+2)=今不是最值，所以直线X=W不是y=sin(2x+2的一条对称轴，不满足，D符合题意.故选ACD.二、填空题6 .函数y=sin修一取最大值时自变量的取值集合是.答案卜卜=苧+4E,攵z解析当红2加左Z,即X=苧+4E,%Z时，函数取最大值.7 .sin1,sin2,sin3按从小到大排列的顺序为.答案sin3sinKsin2解析V123,sin(-2)=sin2,sin(-3)=sin3.y=sinx在(0,，上是增函数,且0-3V1VTt2与sin(-3)sin1sin(-2),即sin3sin1sin2.8 .若贝x)=2sinsr(0vVI)在区间O,W上的最大值是1则G=.3答案iJ1TT解析.G0,即OWXW且OVc91,.C-GTI.O=x=gsin住一TTX3解(1)由2履+5辽2E+2兀，keZ、得4E+Wx4E+3,Z.Y尸1一5吟的单调递增区间为4+,4+3(J1Z).(2)要求函数y=I