第4章 41 指数.docx

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1、第4章指数与对数4.1指数核心素养学习任务1 .理解根式、分数指数曙的意义，掌握根式与分数指数累的互化.（重点）2 .掌握有理数指数累的运算法则.（重点）3 .了解实数指数塞的意义.1 .借助根式的性质对根式运算，提升数学运算核心素养.2 .通过分数指数累、运算性质的推导,培养逻辑推理素养.3 .借助指数幕的运算性质对代数式化简或求值，培养数学运算素养.必备知识情境导学探新知情境趣味导学预习素养【情境与问题:2（3我们已经知道，出,出）,是正整数指数幕，它们的值分别为今6000IOOoO100OQO/那么，5730,）5730,85730的意义是什么呢？这正是我们将要学习的知识.下面，我们一起

2、将指数的取值范围从整数推广到实数.为此，我们需要先学习根式的知识.知识点1基本概念1 .平方根与立方根的概念如果f=，那么/称为4的平方根;如果X3=G那么X称为a的立方根.根据平方根、立方根的定义，正实数的平方根有2个，它们互为相反数，一个数的立方根只有一个.2 .。的次方根(1)定义：一般地，xn=a(n1,wN*),那么称x为的次方根,式子名叫作根式，其中叫作根指数,叫作被开方数.(2)几个规定：当为奇数时，正数的次方根是一个正数,负数的次方根是一个负数,这时，。的次方根只有一个，记作X=缶；当为偶数时，正数的次方根有百个，它们互为相反数，这时，正数。的正的次方根用符号缶表示，负的次方根

3、用符号一步表示，它们可以合并写成%(A0)的形式；O的次方根等于。(无论为奇数，还是为偶数).思考1娴是根式吗？根式一定是无理式吗？提示诋是根式，根式不一定是无理式.体验机,思考辨析(正确的打“，错误的打“X”)(1)16的四次方根为2.()(2)(-4)2=-4.()(3)6=-2.()提示(1)16的四次方根有两个，是2;(2)y(-4)2=-4=4-;(3)16没意义.答案(1)(2)(3)知识点2根式的性质(1)领=O5N*,且心1)；(2)(yja1)=a(n为大于1的奇数)；即）=1,。使得缶有意义).思考，2.对任意实数。都成立吗？提示不都成立.当为不小于3的正奇数时，a为任意实

4、数，等式加=恒成立.当为正偶数时，加=同.体验2.若是偶数，如Fi=X-1，则/的取值范围为.1,+8)由题意知x120,1.知识点3分数指数塞的意义一般地，我们规定：m()gt1=Jcf,(aOf加，均为正整数)；m1(2)。=r(0,几均为正整数);an(3)0的正分数指数累为O1O的负分数指数指没有意义,0的0次幕没有意义.体验3.标可化为()_2522A.。5B.JC./D.一/2(2万3可化为.(I)A赤=-2(2)3，=狗=弧.知识点4有理数指数幕的运算性质(1)a=tz;Q)Sy=Q；(3)W=!,其中S,rQ,0,hO.1-2体验4.化简（一小月的结果为.坐原式=K小）2=（S

5、）T=坐.关键能力合作探究释疑难疑难问题解惑学科素养类型1根式的性质【例1】求下列各式的值.3AQ(IN(-2；(2)(-3)2;(3)(3-)8;(4而；(5)Jx2-2x+1#+6+9,X(-3,3).解(1启(_2)3=_2.(2)(-3)2=3=3.(3)知(3-兀)8=3-=-3.(4)亚=5p=3=，31)1优，a0.(5)原式=叱工Ip(x+3)2=IX11+3|,当一3xW1时，原式=1一工一(x+3)=2-2;当1r3时，原式=-1(/+3)=-4.厂辰思领悟化简根式的依据及注意化简的依据是根式的性质，化简时要注意是奇次还是偶次根式，另外注意而与（丸厂的区别跟进训练1.化简求

6、值.(1)(3.14-)2+(3.14+)2；(2)勺(加一A+(m-)3；(3)若、x22x+1+dy2+6y+9=0,求yv.解I(1)(3.14-)2+(3.14+)2=3.14-+3.14+=2.2(加一)，加?，(2)原式=m川+(m-n)=,0,tn0)；(3) (P7)3(0).解(1)原式=1a*a2-Ja2=(Q2)=QT(2)原式=4_TXXy)2(3)原式=*反思领悟mm1 .根式和分数指数耗互化时应熟练应用。=抽和。=一(),用，QN,且1).当所求根式含有多重根号时，要搞清被开方数，由里向外用分数指数累写出，然后再用性质进行化简.2 .分数指数幕不表示相同因式的乘积，

7、而是根式的另一种写法，但二者在应用时各有所侧重，分数指数累计算较为灵活，而根式求字母的范围更常用.KJ跟进训练3 .用分数指数塞表示下列各式.。0);(2)Ja4b2yab2(a0fb0).解骋YZJi=1(2)a4b2ab2=a4b2(2)3=(42a32 1I1S1113)y=(3)=3.13类型3分数指数幕的运算_1O-11【例3】计算：0.064,(一+(-2)33+16-o.75+-ooi2,3 ir_,3(2)化简：JQ2Ja-3ja(a0).思路点拨将各个根式化成指数幕的形式，按照原的运算性质进行运算._11解(1)原式=(Od)3-1+(-2)-4+(24)075+(0.12)

8、2=0.4-1-1+辰思领悟指数鬲与根式运算的技巧(1)有理数指数幕的运算技巧,运算顺序：有括号的，先算括号里面的，无括号的先做指数运算.指数的处理：负指数先化为正指数.底数的处理：底数是负数，先确定得的符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数，先化成假分数，然后再把底数尽可能用嘉的形式表示.(2)根式运算技巧各根式(尤其是根指数不同时)要先化成分数指数累，再运算.多重根式可以从内向外逐层变换为分数指数嘉.跟进训练2_11_1_1_13.(1)化简：(c?bc(a3b兀2)=亨-R+28x4停=c(2)36.55+TA3ac.(2)原式=+4+(0.3)3j=+49=36.5.1原式=古+古

9、一(5+1)+2X3gx(2X2X3,X+1+1_11+1.1=2-2-1+2%=T+2X3=5.口类型4指数幕运算中的条件求值【例4】己知7+2=4,求下列各式的值：+。1；(2)/+/2.尝试与发现111/与。及Q/与。之间有怎样的关系？J、QG及Qa”/.a-等于多少？提示1平方关系，乘积为1.解(1)将/+2=4两边平方，得4+G+2=16,故+G=14.(2)将q+q-1=14两边平方，得/+/2+2=96,故/+-2=194.I母题探究1 .(变结论)在本例条件不变的条件下，求。一。I的值.解令a-c=f,则两边平方得42+/2=3+2,.r2+2=194,即尸=192,/.r=+

10、83,即-=85.2 .(变结论)在本例条件不变的条件下，求的值.解由上题可知，a2-a2=(a-a3D由题意知20,所以d=。/=/.)(a+ai)=8y14=1123.3 .(变条件)已知J+x2=小，求2+-2.J,解I将J+111v-2_12.已知/+2=5,则匚1的值为()A.5B.23C.25D.2711-5r21x2+x2=5得x+i=23,所以=x+xi=23.3.设5=4,5=2,则52r=.8俨一=等=等=亨=8.4.计算：(IMX2-2x+1=.(x3f则，x26x+912M=.-12-6x+9-2-x=(x-3)2-2-=x-3-2-x=x-3-(x-2)=-1.IeI晓园BD缀IB)回顾本节知识，自我完成以下问题.1 .怎样将根式化成分数指数嘉的形式？【提示根指数作分母，字母的指数作分子.2 .怎样进行分数指数寡的运算？提示运用运算性质求解.3 .怎样判断一个数到底有没有次方根？提示先考虑被开方数到底是正数还是负数.还要分清为奇数或偶数这两种情况.