第32讲等积求距建模第一向量解法颇见功夫.docx
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1、第32讲等积求距建模第一,向量解法颇见功夫典型例题【例1】已知直二面角-/尸,点A,ACL,C为垂足,B0,BDUD为垂足,若AB = ZAC = BD = It则点D到平面ABC的距离等于()236A. B. C. D. 1333【例2如图32-5所示,在棱长为4CC1 上,且 CG=4CP ,求的正方体ABCD- 4用G。中,点P在棱点 P 到平面 ABD1 的距离.强化训练L已知在正四棱锥ABCD-AiBiClDl中,AAi=2ABt贝IJ CD与平面BDq 所成角 的正弦值等于().2.如图32-10所示,已知正方形 ABCD的边长为1,尸。_1_平面 ABCO,且 PD = 1,E
2、F分别是AB和BC的中点.(1)求D点到平面PEF的距离.(2)求直线AC到平面PEF的距离.BS 32-10解答过程【例1】已知直二面角a-l-,点足,若 AB = 21AC=BD = f 则点 DA,AC,C 为垂足,Be,BDYl,D 为垂 到平面ABC的距离等于()236A. - B. C. - D. 1 333【解析】【解法1】(构造法)依据题意构造长方体MBDC-NPQA,如图 32-1 所示,贝I AC = BD = XyAB = If由长方体对角线的长求法易得MB = -Jlf由长方体的性质易得点D到平面ABC的距离就是点D至U BC的距离,记也 .由S bcd =CD DB
3、= BC hDI得 力=述,故选C.3【解法2】(等面积法)如图32-2所示,作DELBC于点Et由二面角a-l-为 直二面 角,ACLl得ACL平面t于是有AClDE.又 BClDE,BCnAC = C,于是 DEl 平面 ABC.故Z)E 为点。到平面 ABC的距离.在Rt-BCO中,利用等面积法得BC噂邛,故选C【解法3】(等体积法)参考图322,由二面角a-l-为直二面角,ACll得ACl平面,由 AB = 2, AC =BD = 1,BD 1/,可知BC = 3,CD = 2z图 32-2则匕一皿=XIXTx17=#设点D至IJ平面ABC的距离为hf于是VD.ABC=LXh义除IX币
4、= gh. 326,匕.BDC= hl2/=半,故选 c【解法4】(向量坐标法,利用点面距离公式求解) 由题意可知ACA,以C为坐标原点建立如图32-3所示的空间直角坐标系,则 A(0,0,1),8(1,ZO)(几0),由 AB = 2f?解得 = y2f/J7z.CA = (,O,l),CB = (l,J,),则平面 ABC 的 ,图32-G/法向量为=(,T),而Co = (O,J,),故点D到平面ABC的距离为d=印邛邛C.IH 3 3【解法6】(向量坐标法,转化为求向量的模长)以D为坐标原点,建立如图32 - 4所示的空间直角坐标系,贝IJ 8(1,0,0),C(O,、5,0), 得
5、BC = (-, 2,0).设 BE = ABCf 则 DE = DB+BE = (1 -,2,0).由 DE BC = - + 2 = 0f 得 = .3【解答案】C.【例2如图32-5所示,在棱长为4的正方体ABCD- lB1C1D1中,点P在棱 CC1上,且CC= 4CP,求点P到平面ABDl的距离.【解析】【解法1(立体几何定义法)如图32-6所示,连接BCit则易证平面BCC1I平面ABCn 于BG,于是在平面BCC1中,过点P作PQIBC1于点QtA3_L 平面 BCC,PQu 平面 BCClf. .PQ-LAB1:. PQ.L 平面 ABClDif PQ就是点尸到平面ABR的距离
6、,在 RtAGPQ 中,NCQP = 90 , ZPCxQ = 45 , PCi = 3, . PQ =当.即点P到平面ABDi的距离为逑.2【解法2】(向量坐标法)如图32-7所示,建立空间坐标系,11;图 32-6坐标原点为D,易求得AA=(0,0,4)(4,0,0) = (Y,0,4) AB = A设平面ABDi的法向量为ZI = (X, X z),AD1 n = 0-4x + 4z = O fx = z则=ABn = O 4y = 01y = 0.取 = lz 得 w = (1,0,1).又 V AP = (0,4,1)-(4,0,0) = (-4,4,1)1,4,0)-(4,0,0)
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