第06讲三极值点问题老师版.docx

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1、第06讲三极值点问题参考答案与试题解析一.解答题(共10小题)1. (2021秋襄城区校级月考)已知函数/(X) = X匚(其中为常数). Inx(1)当 = l时，对于任意大于1的实数%,恒有/(X).成立，求实数k的取值范围；(2)当0l时，设函数/(x)的3个极值点为X , x2, X3,且王$【解答】解：(1) xl时，/(x).k 即(x-1)?-版X.0成立，令 g(x) = (x-l)2-Zzu,则 g(x)=2尸 2.& ,XX 1, /, 2x2 -2x = 2x(X -l)0上0, g)O, .g(x)在(l,o)上是增函数，.xl时,g(x)g ( 1)=0，满足题意：后

2、0时，令g(x) = 0,解得M=匕与巫v, W = J；2-, X (l,x2) gx)v, g(x)在(l,x2)上是减函数，.x(l,x2), g(x) g (1) =0,不合题意，舍去，综上可得，鼠0；(2)由题，f,(x)=对于函数人(X) = 2妹+四一1,有() = 2F XX2函数x)在(0,当上单调递减，在二，+00)上单调递增 22.函数/(x)有3个极值点F x2 X3,从而hmn(x) = MT = 2加一+ 1 所以 = 22Je当 OVaVI 时，h (a) = Hna 0, h (1) =a-l 0.函数/(x)的递增区间有区，)和(七，+oo),递减区间有(0小

3、)，(4,l), (1,3), 此时，函数f(x)有3个极值点，且七二。；.当0vl时，X1 ,不是函数 (X) = 2妹+日-1的两个零点; X2x1 +1 = 0Xj2Zzu3+-，消去有 2xJXl-XI= 2x3lnx3 - X3 1=0令 g() = 2xlnx-X g(x) = 2lnx +1 有零点 X = J=,且不 -j= J -XO g(x3)g(1) = g(), 即证 g(%)g(-X1)构造函数尸(X) = g(x)g(j2-),则尸(J=) = 0 Ne&个证明x(0,卡单调递减即可.而 F,(x) = 2bc +-x) + 2, F,(x)O,=O.尸(X)在(0

4、,9上单调递增，.尸(x)2，当 O -J=.2. (2021 市中区校级模拟)已知函数/(x) = Hu-x,且函数F(X)在x = l处取到极值.(I)求曲线)，= /(幻在(1 , f (1)处的切线方程；证明:(2 )若函数 g(x) = G色L(Ocwzvl),且函数 g(x)有 3 个极值点 X，x2 ,(x1 x20,2 e 2.力(X)在(1,2)内存在零点，设力($) = 0, .x0 m f当g(x)0时，即OVXV6，或x%,函数单调递增，当gx)v时,，即/nxX0,函数单调递减，.当* =6时，函数有极大值,，当Ovznvl时，X =是/(x)极大值点；/?(是以X)

5、的最小值； g(x)有三个极值点x1 x2 X3 ,.l(y) = 2Zy + l0f 得旭 j2.机的取值范围为(0,-尸)，e2当0m7=时，h(m) = 2bnO, h (1) =ZW-IV0,.*.x2 =nn即司，不是函数人“)的两个零点2lnxi +-1 = 0,消去加得 2Xt -X = Ix3Inx3 - X3 ：Hnx2 +-1 = 0X2(x) = 2xlnx-x, rx = 2lnx+, *(X)的零点为X = J=,且玉4一；，即证+wJ,等价于证明/今一毛,即以W), O(X) 二火不)，二即证 *(石)。(7 0；2构造函数 F(x) = (x) - (亍-x),

6、W1J 二.只要证明在(0 ,、=上尸(X)单调递减, 函数0(x)在(0,爰单调递减：X增大时，-产-X减小，(-尸-X)增大, yje-Je一0(广x)在(0 , 7=上是减函数.eyje(x) x) i. (0 =上是减函数.yjeyje2 20 4 J 223 . (2021 台州一模)已知函数/(劝= 一加1 + x(1)若=o,讨论F(X)的单调性.(2)若/(x)有三个极值点X, x2 X3.求的取值范围;求证：JT1 + Jt2 + -2 .【解答】解：(I)当 = 0时，fix) = , -t1 + x，/ xe当r(x)v时，K在(-00,T)和(7,0)上,/(力单调递减

7、,当r(x)0时，X在(0,oo)上，Fer)单调递增,(2)/(X) = 1 + x.二也上空1(l+)-苜先r(0) = 0,令g(x) = e* - (x + 2),则g(x) = 0应有两个既不等于0也不等于T的根,求导可得，g,(x) = ex-a,此时，g(x) = e - = 0有唯一的根Xo=/。，并且与是g(x)的极小值点，要使g(x) = 0有两根，只要g(%)-时，g(x) = e*-4(x + 2)y)由 g(r ) = em, a(lna + 2) = -a(lna +1) -, e又由g(O)wO,得。工；，反过来，若且。工,时,则g(T) =1- v , g(x)

8、 = 0的两根中，一个大于一 1,另一个小于一 1, e 2e是在定义域中，连同X=O, r=o共仃三个相异实根，并且在这三个根的左右，r&)的止负变号，它 们就是/(X)的三个极值点，综上，的取值范围是Wl)UW,+);证明由可知/(X)有三个极值点X ,七，与中，两个是g(x) = O的两根(不妨设为M，W，其中 -2 .只要证：x1 + -2 ,即只要证明Nt2-2,因为g(x)在(w)上单调递减，其中wT,故只要证g(N)vg(-2-X2)，其中 g(M)= g(W)=。，只要证g(x2)2 + 2) e 2vj (2 X2 + 2只要证*-/F _2a(2 +l)0,由g(M) =*

9、一 (x, + 2) = 0,得。=工，由此代入上述不等式，只要证明泊2一/Lq,+i) 0,令力(X) = XeX+(x + 2)e*2,当 x-l 时，h,(x) =(X + V)ex -(X + )e-2 = (x +1)( -e-x2) 0 ,力(x)单调递增，而 MT) = 0,所以当xT时,(x)O,于是证 Y +(X2 + 2)+2 0,即：xl +x2+X3 -2 .4. (2021 辽阳二模)已知函数/(x) = 2)/+。(：5).(1)讨论/(x)的极值点的个数；(2)若/(%)有3个极值点 , x2, xi (其中XIVWV&),证明：XM30时，/0)有2个极值点，当

10、-感W O时，Fa)只有1个极值点，当-e时，/(x)有3个极值点.(2)证明：因为f(x)有3个极值点不，x2七(其中XIVX2玉)，所以=-g，ex3 = -ax3 H.X, = 1 ,f, P a即得J = J ,再 “3要证 X1X3 考，即 X1Xj l, exix, =k ,所以X3- /成，XX3-Xi= Ink, X = JatLy联立|项L 得 k所以XX3二幺吗， = k,kink 勺 3 Ot-I)24 收=T所以要证与玉1，只需华空l,则有3次)2出土，即/成亨= =,则需证明/欣4+4,即需证明%=/产一f+ 10.t因为/) = 2 一 I-I = 二江l = 12

11、io 恒成立， t r tr所以K)在f (1, oo)上是单调递减函数，则有力 (l) = l-l+ = 0,即力Q)=加?一f+ ! 0成立，所以耳应1,即士工3 只得以证明.5. (2021春兴义市校级月考)已知函数/(X)=二.Inx(/)求函数/(X)在区间/, e上的最值；()若g(x) = f(%) +叱二出竺(其中根为常数)，且当0?!时，设函数g(x)的3个极值点为, b, c, Inx2且vbc,证明：0v2461vc,并讨论函数g(x)的单调区间(用 , b,。表示单调区间)【解答】解：(I)广)= *。/),lnx令f,M = ，解得X = &，列表:X2e4 -Je)加(4e， ef,一