十种方法秒解无理函数最值.docx

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1、十种方法秒解无理函数最值题目：求函数y=347+7Z的最大值方法一：判别法令=Jx-1eO,我,则由y=3o+J2(3-02)得(3a)2=6-2a2,整理得11/-6ya+(/-6)=0由A=(6y)2-4x11x(-6)0解得y屈(当且仅当X=I1取等号)方法二：柯西不等式法y=3yx1+J8-2x=3y-1+X32+(y2)2.J()2+(47)2=33当且仅当7=-/.即1=当时等号成立;所以ynax=24-x11法三：向量法不妨令a=(3,&),尸=(x-1,4-x)由a=a7cos(a,7k卜网=0=/33当且仅当CoS%万=1,即/同向时等号成立3238此时，I=Ix=771符合

2、条件-14x11法四：导数法,31y=25x-1J8-2元OQOQo,得RVj1；y三所以，当X=；!时，ymax=33法五：三角换元法易知定义域xU,4,0T3,则01JX_R不妨令Sina=T,则X=3si?+10,-,32y=3x-+JS-2x=373sina+6cosa=33sina+cosa=33sin(+),tan=y1当且仅当+=g时，ymax=33法六：最大值问题转化为直线与圆相结合的截距问题y=3jx-1+48-2x=3x-1+y,4-x令机=Jx-1,n=一%,贝IJy=3n+V,m2+n2=3,w0,0XnaX转化为直线3a+J5-y=O与m2+/=3,6，的截距问题当直

3、线与圆在第一象限相切时Vmax1/=V?,Xnax=J支，32(M【思考】求)而法七:最大值问题转化为直线与椭圆相结合的截距问题y=3-Jx-1+j8-2x令机=JX-1,=yj8-2x,22则y=3/z/+，2m2+n2-6,BP-+-=1,a0,n03622XnaX转化为直线3“+一）=与-1+-=1,m，相结合的截距问题36y=3m+当直线与椭圆圆在第一象限相切时，fn2H2，消得11加2-6加丁+（丁2-6）=。+=136利用A=0,得y?=33,ymax=/33【思考】能否用A=O得笫=后法八：利用对称性y=3X1+48-2x=3,Jx1+J4X,构造%=34-x-垃小-1f以消去X

4、得短+%2=33研究%=3j=-应yT,在定义域x1,4,单调递减所以斗-当%=0时，此时%a=后法九：构造方差易知定义域x1,4,不妨令。=失一邛=-=-,则y=9+2752=9a2+22_()2=2,(Z)20其中9+2=3,得V33,所以当a=P=(,即x=*时等号成立；所以ymax=J药法十:构造概率分布列y=3x-T+8-2x,x1,4JX-1C-2x不妨令=-,/?=-,则y=9cr+2792P(=a)=-,P(=)=-9a2+223111192VQ?则Ee)=Fa+打力=;E()2=a2+2由Oe)=E()2一(E(J)20,得一(。)2O所以V33,当且仅当。=尸，R=H时，Vmax=后