三角形中的数列经典结论.docx

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1、三角形中的数列经典结论【定理。在AABC中，三内角A、B、C所对的边分别为、b、c.无论SinA、SinBxSinC成等差数列或一、一、一成等差数列;sinAsinBsinC还是。、氏C成等差数列或1Ix，成等差数列.都有B（,g.ahcV3_【推论】在AABC中，三内角A、BxC所对的边分别为纵b、c.无论siMA、Sin2BxsiMC成等差数列或一、-Ux成等差sin2Asin2Bsin2C数列或cos?A、COS2B、cos?C成等差数列；还是M、心。2成等差数列或H4成等差数列都有Bo,g.crb-cI3_【定理2】在ABC中，三内角A、BvC所对的边分别为、b、c.无论sinA、Si

2、nBxSine成等比数列或一、一、一成等比数列；sinAsinBsinC还是。、b、C成等比数列或1：、！成等比数列.都有B（,g.ahcI3_【推论】在AABC中，三内角A、BxC所对的边分别为小b、c.无论sinA、sin,BxSi1rC成等比数列或一、，一、，成等比sinAsinBsinC数列；还是a”、bn.成等比数列或二、I、_1N*）成等比数列.都有abcneH【定理1证明】1）由等差中项公式和正弦定理得：2sinB=sinA+sinC2b=+c再由余弦定理得。SB=此萨4(/+c2)-(t7+c)2_3(/+c2)-IacSacSac.91.3(a2jt-c1)-Iac6ac-2

3、ac1.a2+c22accosB=-=-Sac8c2当且仅当Q=C,时,等号成立.又B(0r)及y=cosx在(0,兀)内单调递减，故B(O,y.2)由等差中项公式和正弦定理得2112111Iac=+-=+-/?=sinBsinAsinCbaca+c22/2ac2ZV2+r2-h2a+1-()再由余弦定理得COSB一+CJ0_2ac2ac24c2qc.cr+cr2ac(a+c)24ac0()2ac/.a2+ci-()12ac-ac=aca+ca+c，cosB乌-二1当且仅当。二。时等号成立.又B(OH)及y=cosx在(OH)内单调2ac2递减，故B(,?.【推论证明】由/、从、/成等差数列得

4、2b2f2+c2,2222C+C再由余弦定理得CoSBJ+2=D2_=iU网=12ac2ac4acAac2当且仅当Q=c时,等号成立.又B(0,)Sy=cosx在(0,兀)内单调递减，故eH同理可证若3、士、4成等差数列或siASin2BxSiiC成等差数列或abcCos2AxCos2Bxcos2C成等差数列;或二、二二、二成等差数列,都sinAsinBsinC有B(,q【定理2证明】由等比中项公式和正弦定理得：Sin2B=SinAsinCQ-=sin2B=sinAsinCb2=acsin3sinAsinC再由余弦定理得：CosB=a2+c2fe2=2ac2ac.C,2ac-acac1.a-+

5、cr2accosB=2ac2ac2当且仅当a-C时，等号成立.又B（0,兀）及y=cosx在（0,乃）内单调递减，故【推论证明】在AABC中，若sinA、sinnBvSirrC1N）成等比数列,则b2二ac,BPb2=ac.r+n公工田汨O丁+C一夕a+c-ac2ac-acac1由余弦/E理得：cosB=-=-,2ac2ac2ac2ac2当且仅当a-C时，等号成立.又B（0,乃）及y=cosx在（0,乃）内单调递减，故同理可证若去看.成等比数列或焉焉焉（3）成等比数歹J都有B（,q.【典例1】在AABC中，一么、-4-.二成等差数列，sinCsnBsin-Ap=（sinB91）,q=（1,cosB）,证明：函数/（B）=/通值域为（1,1(2)函数g(B)=需的值域为上得卜(3)函数A(B)=I+1*)?+pq的值域为(1,3(-1)1）成等比数列,【典例2】在AABC中羡看高心且=(6,CosB),=(sinB,1),证明：（1）函数/（B）二方力的值域为(2)函数g(B)=2的值域为*+”(3)函数GB)=1+(q)-1+P4的值域为2(&-1),+0o