812 用二分法求方程的近似解.docx

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1、8.1.2用二分法求方程的近似解课标要求素养要求1 .探索用二分法求方程的近似解的思路.2 .能借助计算工具用二分法求方程的近似解.通过本节内容的学习，使学生体会“逐步逼近”的方法，提升学生数学抽象、逻辑推理、数学运算素养.课前预习知识探究自主梳理1二分法是求一元方程近似解的常用方法;运用二分法的前提是要先判断某解所在的区间.2.用二分法求方程的一个近似解的操作流程是：步骤I方程/（）-（）的解I转化为步骤2I函数/（）的零封I/（）（）的近似值都为?I.r05m步骤7I方程的个近似解为?I在上述操作过程中如果存在C,使得7（c）=3那么C就是方程兀1）=0的一个精确解.用二分法求函数近似零点

2、时，函数应满足哪些条件？前提条件：(iyU)在区间，例上的图象连续不间断.(2)在区间小端点的函数值y(G(b)O.自主检验1 .思考辨析，判断正误二分法所求出的方程的解都是近似解.(X)提示如函数yu)=x-2用二分法求出的解就是精确解.(2)函数fix)=IX1可以用二分法求零点.(X)提示对于函数y(x)=x,不存在区间(。，b),使/(4)(b)0,所以不能用二分法求其零点.用二分法求函数零点的近似值时，每次等分区间后，零点必定在右侧区间内.(X)提示函数的零点也可能是区间的中点或在左侧区间内.(4)二分法可求所有函数的近似零点.(X)提示当零点左右两侧附近函数值同号时，不能用二分法求

3、函数的近似零点.2 .利用二分法求函数的零点的近似值适合于()A.零点两侧函数值异号的函数B.零点两侧函数值同号的函数C.所有函数都适合D.所有函数都不适合答案A解析由函数零点存在定理可知选A.3 .下列图象表示的函数能用二分法求零点的是()答案C解析对于A,图象与X轴无交点，不存在零点；对于B,图象与X轴有公共点,但零点两边的函数值同号，不能用二分法求零点；对于C,函数零点两边的函数值异号，可用二分法求零点；对于D,零点两边的函数值同号，不能用二分法求零点.故选C.4 .用二分法求函数y=(x)在区间(2,4)上的唯一零点的近似值时，验证式2加4)0,2+4取区间(2,4)的中点xi=m=3

4、,计算得五2加沏)0,则此时零点刈所在的区间是.答案(2,3)、课堂互动题型剖析题型一二分法概念的理解例1(1)下列函数中不能用二分法求零点的是()1/WMI1oxXo7oMUXOTABCD(2)用二分法求方程2+3x7=0在区间(1,3)内的根，取区间的中点为必=2,那么下一个有根的区间是.答案(I)B(2)(1,2)解析(1)观察图象与X轴的交点，若交点附近的函数图象连续，且在交点两侧的函数值符号相异，则可用二分法求零点，而B不能用二分法求零点.(2)设U)=2v+3-7,则火1)=2+37=20,12)=30,故大工)零点所在的区间为(1,2),方程2丫+37=0有根的区间是(1,2).

5、思维升华运用二分法求函数的零点应具备的条件(1)函数图象在零点附近连续不断.(2)在该零点左右两侧函数值异号.只有满足上述两个条件，才可用二分法求函数零点.【训练1】已知函数yu)的图象如图，则yu)零点的个数与可q、=号以用二分法求解的个数分别为()q/A.4,4B.3,4C.5,4D.4,3答案D解析图象与X轴有4个交点，所以零点的个数为4；左、右两侧函数值异号的有3个零点，所以可以用二分法求解的个数为3.题型二用二分法求函数的零点例2用二分法求函数兀v)=Vx1在区间1,1.5内的一个零点(精确到0.1).解经计算，7U)v0,U.5)X),所以函数在1,1.5内存在零点m取区间(1,1

6、.5)的中点为=1.25,经计算4.25)0,因为”.25次15)vO,所以xo(1.25,1.5).如此继续下去，得到函数的一个零点所在的区间，如下表：3,b)(a,b)的中点中点函数值符号(1,1.5)1.25y25)0(1.25,1.5)1.375川375)0(1.25,1.375)1.3125/1.3125)0(1.3125,1.34375)因为1.3125与1.34375精确到0.1的近似值都为1.3,所以函数於)=x3一工一1的精确到0.1的近似零点可取为13思维升华用二分法求函数零点的近似值应遵循的原则需依据图象估计零点所在的初始区间，小川(一般采用估计值的方法完成).(2)取区

7、间端点的平均数g计算式c),确定有解区间是加，c还是gni逐步缩小区间的“长度”，直到区间的两个端点符合要求，终止计算，得到函数零点的近似值.【训练2】用二分法求函数段)=3一1一4的一个零点，其参考数据如下：/1.6000产0.20041.5875)-0.133川.575O)Ao.067X1.5625)0.0037(1.55625)=0.029川.550O)Q-0.060据此数据，可得/)=3一%一4的一个零点的近似值(精确到0.01)为.答案1.56解析由参考数据知1.5625)0.0030,g.55625)-0.0290,即/1.5625次1.55625)0,且1.55625与1.562

8、5精确到0.01的近似值都为1.56,所以函数段)=3*一冗一4的一个零点的近似值可取为1.56.题型三用二分法求方程的近似解【例3】在用二分法求方程x=3Igx在区间(2,3)内的近似解时，先将方程变形为1gx+x3=0,构建7U)=1gx+-3,然后通过计算以判断大2)及穴3)的正负号，再按步骤取区间中点值，计算中点的函数近似值，如此往复缩小零点所在区间，计算得部分数据列表如下：步骤区间左端点a区间右端点b4,b中点C的值中点C的函数近似值HC)1232.5-0.10220.18932.6250.04442.52.6252.5625-0.02952.56252.6252.593750.00

9、862.56252.593752.578125-0.01172.5781252.593752.5859375-0.00182.58593752.593752.589843750.00392.58593752.589843752.5878906250.001判断大2)及式3)的正负号；请完成上述表格，在空白处填上正确的数字；(3)若精确到0.1,则到第几步骤即可求出近似值？此时近似值为多少？(4)若精确到0.01,则需要到第几步骤才可求出近似值？近似值为多少？解(1M2)=1g2-1=1g2-1g100.(2)如下表：步骤区间左端点a区间右端点ba,b中点C的值中点C的函数近似值以。)1232.

10、5-0.10222.532.750.18932.52.752.6250.04442.52.6252.5625-0.02952.56252.6252.593750.00862.56252.593752.578125-0.01172.5781252.593752.5859375-0.00182.58593752.593752.589843750.00392.58593752.589843752.5878906250.001(3)直到第5步臊时，2.5625与2.625精确到0.1的近似值都为2.6,此时可求出零点的近似值为2.6.(4)直到第8步骤时，2.5859375与2.59375精确到0.0

11、1的近似值都为2.59,此时可求出零点的近似值为2.59.思维升华用二分法求方程的近似解，首先要选好计算的初始区间，这个区间既要包含所求的根，又要使其长度尽量小，其次要依据给定的精度，及时检验所得区间是否达到要求(达到给定的精度)，以决定是停止计算还是继续计算.【训练3用二分法求2%+x=4在1,2内的近似解(精确到0.1).参考数据：X1.1251.251.3751.43751.51.6251.752x2.182.382.592.712.833.083.36解令/)=2+-4,则/U)=2+14O.区间区间中点值为兀%的值及符号(1，2)Xi=1.5曲)=O.33O(1,1.5)%2=1.2

12、52)=-0.370(1.25,1.5)X3=1375大13)=0.0350V1.375与1.4375精确到0.1的近似值都为1.4.,2*+x=4在1,2内的近似解可取为1.4.课堂小结1 .掌握2个知识点二分法的定义.(2)利用二分法求函数的零点、方程的近似解.2 .学会2种方法化归思想、逼近思想(1)化归思想：把求方程yu)=o的近似解转化为求函数)=/U)的近似零点.(2)逼近思想：二分法是求函数零点的一种常用方法，是“逐步逼近”的数学思想的应用.3 .规避1个误区并非所有函数都可以用二分法求其零点，只有满足：(IvU)在区间，加上的图象连续不间断；(2次助WV0,上述两条的函数方可采

13、用二分法求得零点的近似值.Jfcim素养提升I基础达标I一、选择题1 .己知定义在R上的函数大幻的图象是连续不间断的，且有如下对应值表：X0123於)3.10.1-0.9-3那么函数7U)一定存在零点的区间是()A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,+)答案B解析因为遂1次2)0,所以於)在(1,2)内一定存在零点.2 .在用二分法求函数於)的一个正实数零点时，经计算，0.64)0,火0.68)V0,则函数的一个精确到0.1的正实数零点的近似值为()A.0.68B.0.72C.0.7D.0.6答案C解析已知y(0.64)V0,K0.72)0,则函数Ar)的零点的初始区间为0.64,0.72,又虫詈卫=0.68,且/(0.68)V0,所以零点在区间0.68,0.72,且该区间的左、右端点精确到0.1所取的近似值都是0.7,因此0.7就是所求函数的一个正实数零点的近似值.3 .下列函数中不能用二分法求零点的是()答案C解析根据二分法的思想，函数y在区间m,句上的图象连续不断，且犬Gwo,即函数的零点是变号零点时，才能将区间访川一分为