722 同角三角函数关系.docx

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1、7.2.2同角三角函数关系课标要求素养要求1 .理解同角三角函数的基本关系式.2 .会用同角三角函数的基本关系式进行三角函数式的求值、化简和证明.通过同角三角函数式的应用，重点提升学生的数学抽象、逻辑推理、数学运算素养.课前预习知识探究自主梳理1 .同角三角函数关系(1)平方关系：sin2COS2Ct=1.(2)商数关系：12110=黑条力1+也，女2).2 .同角三角函数关系的变形(1)sin2cos2a=1的变形公式：sin2=1cos;cos2=1sin2.小、Sinag*r八#.sina(2)tana=的变形公网:sina=cos_atan_a；CoSa=二Z=cosCtIan-同角三

2、角函数的基本关系式中，“同角”的含义是什么？“同角”有两层含义，一是“角相同”，二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)关系式都成立，与角的表达式无关，如：sin23+cos23=1;siM(0)+COS2(“一汽)=1都成立.自主检验1 .思考辨析，判断正误(I)Sin20t+cos*=1(X)提示在同角三角函数的基本关系式中要注意是“同角”才成立，即siz+cos2=1.(2)sin2+cos2=1.()nCi对任意的角扇都有tana=/成立.(X)VOoC提示当=+E,&Z时就不成立.(4)若Sina=贝IJCoSa=孚.(X)提TKCOSQ=2 .下列四个结论中可能成立的是()1

3、口1A.sna=且cos=B.sina=0且cosa=-1C.tana=1且cosa=1D.是第二象限角时，tanasinacosa答案B解析根据同角三角函数的基本关系进行验证，因为当=时，Sina=O且cosa=-1,故B成立，而A,C,D都不成立.33.已知CoSa=g,为第四象限角，则Sina=()4443A5B1C.D.答案B3解析Vcosy2为第四象限角，.sinaO,4化简2cs2-11-2sin2a答案14,工_2cos2(一(Sin%+cos%)_COs%sin_式(sin2cos2)2sin2cos2-sin2a1题型剖析课堂互动题型一利用同角三角函数关系式求值【例1】已知t

4、an=1,且是第三象限角，求Sina,cos的值.71Sir1Ct4/日,4Xs.解由tana=得sn=s.又sin2a+cos2a=1,16Q由得WCOS2a+cos2ct=1,即COS2Ot=2.又。是第三象限角，.3.44.cos=-5,S1na=ICoSa=-5.in（1-3cSC1【迁移1】（变换结论）在例1的条件下，求上的值.sinacosa4解法一（代入法）Ytana=Q,.sina4,cos=3,/.sina=cosa,4C55-7WCoSa3cosa-geosa原式=Z7=7cosa=cosa+cosa-1_3法二（弦化切）Sina-3COSatana-33sina+cosa

5、tana+4.13+1【迁移2（变换结论）在例1的条件下，求2sin2a-sinacosacos的值.4解法一（代入法）由（迁移1）知sina=Qcos,又Vsin2acos2a=1,.16,9-cos2acos2=1,即cos2a=石V2sin2a-sinacosa+cos%=2x3cos2a-cos%+cos%=Mcos2a=mx=2925,法二（弦化切）2sin2a-sinctcosa+cos2cc2sin%-sinacosa+cos%sin2acos2a2tan-tan129+4-3-16-9X25-tan2ct+1sin20+cos?0=思维升华(1)已知Sino(或COSo)求ta

6、n。常用以下方式求解(2)若没有给出角是第几象限角，则应分类讨论，先由已知三角函数的值推出Q的终边可能在的象限，再分类求解.【训练1】已知COSa=一万，求Sin,Iana的值.解cosa=py0,。是第二或第三象限角，(1)当。是第二象限角时，则sina=cos2=J115sina1715taw睛=一了17(2)当。是第三象限角时，则SE1后高T，tanT题型二sincosa型的求值问题【例2】已知sin6+cos0=(0*),求sin。CoSe和SinecosJ的值.解因为Sin+cos=g0,所以sin。一COSO=N(Sin夕+cos)24SinJcos思维升华已知Sinacos,Si

7、naCOSa求值问题，一般利用三角恒等式，采用整体代入的方法求解.涉及的三角恒等式有：(1)(sincosa)2=1+2sinacos;(2)(sina-cosa)2=12sinacosct;(3)(sina+cosa)2(sincosa)2=2;(4)(sina-cosa)2=(sin+cosa)2-4sinacosa.上述三角恒等式告诉我们，已知SinQ+cosa,sinacosa,SinaCOSa中的任何一个，则另两个式子的值均可求出.【训练2】在AABC中，sin+cosA=.求sinAcosA的值；(2)判断AABC是锐角三角形还是钝角三角形；(3)求tanA的值.解(1)：sinA

8、+cosA=1,、112两边平方得1+2SinACoSA=不，AsinAcosA=-.12由sinAcosA=0,且0A,可知COSA0,cosA0,，sinAcos.43由=sn-costana1(sinacosa)2sinacosatana122sna-cos-asinacosatana1=右边,所以原等式成立.Sina.、u_e、，、1COSaTsina+cosa法二因为右边=1=-sinasinacosacosa(Sinacosa)2(sina-cosa)(sina+cosa)12sinacosa,.-9=左边，SI1ra-cosa所以原等式成立.思维升华证明三角恒等式的思路(1)从一

9、边开始证明它等于另一边，遵循由繁到简的原则；(2)证明左右两边等于同一个式子；(3)证明左边减去右边等于零或左、右两边之比等于1;(4)证明与原式等价的另一个式子成立，从而推出原式成立.、十tanasmatan+sina【训练4】求证：:=-：.tanasinatanasmatan2atan2cos2tan2a(1cos2)(tanasina)tanasina(tanasina)tanasinatan2sin2tansina(tana-sin)tansinatana-sina=左边,.原等式成立.课堂小结一、选择题1.(多选题)如果a是第二象限角，则下列各式中不成立的是()B.cosa-y1s

10、in2asinaA.tana=-cosaC.sina=1-cos2aCcosaD.tana=sina答案ACD解析由商数关系可知A,D均不正确；当a为第二象限角时，cosa0,z45一4,-9T6_一-932-C932D.答案C解析因为sinacosa=5-45-62-1、99所以2sinacosa=,即sinacosa=一到.3-4且a为第四象限角，贝IJtana=()DT答案B37解析Vsina=-Q为第四象限角，,cos=,.Sin-3币tan(Xrcosa724 .已知是三角形的一个内角，且sin+cosQ=争那么这个三角形的形状为()A.锐角三角形B.钝角三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形Si2-3o4(sin+cos)2=,即12sinacossin(xcos=-0,Ta是三角形一内角，(zfe兀)，即三角形为钝角三角形.5 .化简sin2a+cos4a+sin2acos2a的结果是()113AqB，2C.1D，2答案C解析原式=sin2a+cos2a(cos2a+sin2a)=sin2