322 基本不等式的应用.docx

《322 基本不等式的应用.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《322 基本不等式的应用.docx（12页珍藏版）》请在第一文库网上搜索。

1、3.2.2基本不等式的应用课标要求素养要求1 .进一步熟练掌握基本不等式，能够通过拼凑、变形等利用基本不等式求最值.2 .能够利用基本不等式解决实际问题.通过学习掌握基本不等式及其应用，重点提升数学运算、逻辑推理、数学建模素养.课前预习知识探究自主梳理基本不等式与最大(小)值对于正数小b,在运用基本不等式时应注意：(1)和+b为定值时，积而有量大值;积ah为定值时，和a+b有最小值.(2)取等号的条件(当且仅当4=力时,q7=Wj.点暗利用基本不等式求最值(1)利用基本不等式求最值要把握下列三个条件：“一正”各项为正数；“二定”“和”或“积”为定值；“三相等”等号一定能取到.这三个条件缺一不可

2、.(2)利用基本不等式求最值的关键是获得定值条件，解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创建应用基本不等式的条件.注意“1”的代换.自主检验1 .思考辨析，判断正误对于实数mb,若+b为定值，则幅有最大值.(X)提示a,b为非负实数.(2)对于实数mb,若幅为定值，则。+匕有最小值.(X)提示a,b为非负实数.(3)若x2,贝IJX+5的最小值为2.(X)提示当且仅当x=1时才能取得最小值，但x2,取不到最小值2.2 .已知20+b=1,0,b01则的最小值是()A.22C.3+22B.3-22D.3+2答案C解析H卜3+错+0=3+/富3+2=3+26,当且仅

3、当於即。=1一乎，/?=啦一1时，等号成立.J+的最小值是3+2吸.3 .已知x2,则x+已工的最小值为()A-2答案D解析2,.“+我=2+2-222Y(X+2).%2=。，当且仅当工=-1时“=”成立.4 .已知正数,Z?满足=10,则+b的最小值是.答案210解析。+心2旃=2回，当且仅当=Q1时等号成立.题型剖析课堂互动题型一基本不等式的变形应用求最值角度1积定求和或和定求积的最值【例1】若O,b0,a+2b=5f则时的最大值为()N25_25、25A.25B.rC.D.vZ4o(2)若0x0,b0,+2A=5,则4b=%2Nwx2)=餐当且仅当。=2儿即。=|,8=土时，等号成立.1

4、,2.23x+(13x)(2)V0tO,：.y=2x(-3x)=3x(1-3x)z=16,当且仅当3x=13x,即x=时，等号成立.角度2“1”的代换求最值例2已知x0,yO且：+=1,则x+y的最小值为.(2)已知正数X,y满足+y=1,贝4+：的最小值是.答案(1)16(2)9解析(1)法一(1的代换)19因为嚏+,=1,所以x+y=(x+y)(+)=10+y.因为x0,y0,所以2+藁224|=6,当且仅当F=当,即y=3%时，取“=”.y1gX-+=h解可得X=4,y=12.所以当r=4,y=12时，x+y的最小值是16.1QV法二(消元法)由：+:=1,得工=一%.因为x0,0,所以

5、y9.Vy9+99所以/+y=+y=y+-=y+1=y-9y-9y-99。9)+*+10因为y9,所以y90,所以&-9)+号2297=6,9当且仅当y-9=1,即y=12时，取“=，此时x=4,所以当x=4,y=12时，x+y的最小值是16.(2)Vx+y=1,.1+4=(+)停+2)=J+4+”Xyjxy)Xy尸尸112当且仅当E4x即X=/,y号时等号成立.IXy+；)=9角度3恒成立问题求最值【例3】已知aO,切0,若不等式介拉式工恒成立,则m的最大值等于()A.10B.9C.8D.7答案B解析因为00,所以2a+h0i所以要使渣工恒成立，只需“W(2+b)(+3恒成立,而(2+b)g

6、+W=4+当+乡+15+2照萼=9,当且仅当。=人时，等号成立，所以mW9.思维升华利用基本不等式求条件最值的常用方法(1)T的代换:利用已知的条件或将已知条件变形得到含“1”的式子，将力”代入后再利用基本不等式求最值.(2)构造法:构造不等式：利用。人（等），将式子转化为含油或。+人的不等式，将m+与作为整体解出范围；构造定值：结合已知条件对要求的代数式变形，构造出和或积的定值，再利用基本不等式求最值.【训练1】（1）若正数X,y满足x+4y孙=0,则x+y的最小值为（）A.9B.8C.5D.41II2（2）已知0,b0,a-hb=-bp则+g的最小值为（）A.4B.22C.8D.16答案（

7、I）A（2）B14解析根据题意，x+4y-xy=0=x+4y=x=+-=1,y则x+y=（x+y）（+）=5+5+2=5+4=9,当且仅当x=2y=6时等号成立，则x的最小值为9.由0,Z?0,a+b=：+*=,得血=1,贝弓+於2|=2啦.当且仅当H，即=乎，Z?=啦时等号成立.故选B.题型二基本不等式的实际应用【例4】围建一个面积为360?的矩形场地，要求矩形场1Iq地的一面利用旧墙（利用的旧墙需维修），其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，如图所示.已知旧墙的维修费用为45元m,新墙的造价为180元m.设利用的旧墙长度为M单位：m）,修建此矩形场地围墙的总费用

8、为y（单位：元）.用X表示y；试确定,使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用.解（1）设矩形的另一边长为m,贝IJy=45x+80（-2）+1802=225x360-360.360由已知得Xa=360,得=，y=225x+型一一360(QO).人QXrx2(2)Vx0,225x+r222253602=10800.y=225x+萼-360210440,当且仅当225X=平即x=24时，等号成立.故当x=24m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元.思维升华利用基本不等式解决实际问题的步骤先理解题意，设变量.设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为y.(2)建立相应的关系

9、式，把实际问题抽象为y的最大值或最小值问题.(3)利用基本不等式求出y的最大值或最小值.(4)正确写出答案.【训练2某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元.若每批生产工件，每件产品的平均仓储时间为弥天，且每件产品每天的仓储费用为1元,O为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品多少件？X800f=20800gx1解设平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和为y元，则y=-当且仅当呼=?,即x=8Oa=-80舍去)时等号成立.XO故每批生产产品80件时，可使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小.课堂小结掌握1种方法利用基本不等式求最值的方法(1)

10、利用基本不等式求最值要把握下列三个条件：一正各项为正数；二定和或积为定值；三相等等号一定能取到.(2)利用基本不等式求最值的关键是获得定值条件，要采用“拆项、添项、配凑、变形”等方法创建应用基本不等式的条件.分层训练素养提升ii基础达标I一、选择题2y-11 .若1(QD在X=F处取得最小值,则，等于()A.1+2B.2C.3D.4答案B解析-G+1)TX2x+1X(X1)+11x-1x-1-1+1=3,当且仅当11=占,即E时，等号成立.2 .己知G0,/?O,3a+b=2abf则+b的最小值为()A.3B.2C.2+3D.3+3答案C3 1解析根据题意，3+8=2出?=宜+五=1,则+b=

11、(.+)m+b)=2+ff+恭2+2J=2+3,当且仅当b=y3a时等号成立，则+b的最小值为2+小.3.欲用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的面积最大的矩形菜园，墙长18m,则这个矩形的长、宽分别为()157A.15m,EmB.15m,Im答案A解析设矩形的长为Rm,宽为ym,则x+2y=30,所以S=Ay=/Oy)W2雪彳2)=苧,当且仅当x=2y,即x=15,y=当时取等号.4.将一根铁丝切割成三段做一个面积为2形状为直角三角形的框架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合理(够用且浪费最少)的是()A.6.5mB.6.8mC.7mD.7.2m答案C解析设两直角边长分别为mb,直角三角形的

12、框架的周长为/,则%。=2,=4,/=+6+，？帝22+-/5%=4+2啦76.828(m).;要求够用且浪费最少，故选C.2115 .已知AO,力0,+g=d,若不等式24+829?恒成立，则m的最大值为()A.8B.7C.6D.5答案C解析由已知可得6弓+胃=1,2+。=6(湾)(2+0)=6(5+)6(5+2?)=54当且仅当当=,即=b=18时等号成立，9n54,即mW6,故选C.二、填空题6 .已知y都是正数.(1)如果Ay=I5,则x+y的最小值是；(2)如果x+y=15,则肛的最大值是.答案(1)215竽解析(1)x+y2yxy=2y5,当且仅当x=y=3时等号成立，即x+y的最

13、小值是2代.(2)孙字J=密=争当且仅当尸产竽时等号成立，即口的最大值是竿7.某公司租地建仓库，每月土地占用费V与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费户与到车站的距离成正比.如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用V和户分别为2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站千米处.答案5解析设仓库与车站的距离为d,则yi=*=依d,由题意知2=38=10/:2,2020，依=20,fa=0.8.y+y2=y+0.8J2T6=8,当且仅当y=0.8d,即J=5时，等号成立.若对任意x0,2+y+1恒成立，则实数C1的取值范围是.当且仅当X=1即Jt=I时，等号成立,Y所以f+i+1的最大值为点所以。法三、解答题8 .已知My都是正数.(1)若3x+2y=12,求孙的最大值;(2)若x+2y=3,求的最小值.解3x+2y=12,21 .11+2yY,.xy=dX3x2yx1-I=6,当且仅当3x=2y,即x=2,y=3时，等号成立.xy的最大值为6.（2）Vx+2y=3,，1=：+小当且仅当砥=养P=32-3,y=3一时取等号，+：的最小值为1+芈.XyJ10 .某人准备租一辆车从甲地出发去乙地，已知从出发点到目的地的距离为100k