概率论与数理统计公式整理.docx

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1、概率论与数理统计公式整理概率论和数理统计领域中一些重要的公式以及定义。概率基础：概率的定义：对于一个事件，其概率是它发生的可能性，通常用P表示，取值范围在O到1之间。概率的加法规则：对于任意两个不相交事件A和B,它们的并集事件的概率等于它们各自的概率之和，即：P(AUB)=P(A)+P(B)概率的乘法规则：对于任意两个事件A和B,它们的交集事件的概率等于它们各自的概率的积，与它们的条件概率之积相等，即：P(AB)=P(A)PP(BA)=P(B)PP(AB)条件概率的定义：在事件A已经发生的条件下，事件B发生的概率，用P(BA)表示,并定义为P(AB)P(A)全概率公式：设B1,B2,Bn为样本

2、空间的一个划分，即它们两两不相交且并集为样本空间。则对于任意事件A,都有P(A)=P(ABi)贝叶斯公式：设B1,B2,Bn为样本空间的一个划分，即它们两两不相交且并集为样本空间。则对于任意事件A,都有P(BiIA)=P(ABi)P(Bi)/P(ABj)P(Bj)随机变量：随机变量的定义：将样本空间S中的每个样本点赋予一个实数,得到一个实数函数X=X(),通常称为随机变量。随机变量的取值范围被称为它的值域。离散型随机变量的概率分布：对于一个离散型随机变量X和它的所有取值x1,x2zxn,它们对应的概率分别是P(X=X1),P(X二x2)zP(X=xn),满足OWP(X=Xi)W1且P(X=Xi

3、)=Io连续型随机变量的概率密度函数：对于一个连续型随机变量X,它的概率密度函数f()满足两个条件：非负性:f(x)20,且积分值为1f(x)dx=1。对于任意一个区间a,b,它的概率等于该区间上概率密度函数的积分，即P(aXb)=Ta-bf()do期望值的定义：对于一个随机变量X,它的期望值E(X)是所有可能取值Xi乘以相应的概率P(X=Xi)的加权平均值,即E(X)=xiP(X=xi)方差的定义：对于一个随机变量X,它的方差Var(X)是所有可能取值Xi与期望值E(X)的差值的平方与相应的概率P(X=Xi)的加权平均值，即Var(X)=E(X-E(X)2)=E(X2)-E(X)2协方差的定

4、义：对于两个随机变量X和Y,它们之间的协方差Cov(XzY)定义为EX-E(X)Y-E(Y),其中E()表示数学期望。当Cov(XzY)0时，说明X和Y正相关；当Cov(XzY)0时,说明X和Y负相关；当Cov(XzY)=0时，说明X和Y不相关。相关系数的定义：对于两个随机变量X和Y,它们之间的相关系数P(XzY)定义为它们的协方差Cov(XzY)与它们标准差的乘积的商，即：P(X,Y)=Cov(XzY)/(X)(Y);其中O(X)和。(Y)分别表示随机变量X和Y的标准差。常用分布：二项分布：设X为n个独立的BernoU11i试验成功次数的和，其中每次试验成功的概率为p,则X服从参数为n和P的

5、二项分布。它的概率分布和累积分布函数分别为：P(X=k)=(nchoosek)pk(1-p)(n-k),F(X=k)=Ji=Ok(nchoosei)pi(1-p)(n-i)泊松分布：设X为单位时间(或单位面积)内某事件发生次数的随机变量，如果每个时间或面积区间内事件的发生是相互独立的，并且事件发生的平均次数为,则X服从参数为的泊松分布。它的概率分布和累积分布函数分别为：P(X=k)=(kk!)exp(-),F(X=k)=-i=Ok(i/i!)exp(-)正态分布：设X是连续型随机变量，如果它的概率密度函数服从标准正态分布N(OzI)的形式，即f(x)=(1/(2)exp(-x22),则称X服从

6、正态分布。对于一般形式的正态分布N(z2),它的概率密度函数为f(x)=(1/(2)Xexp-(x-)2(22),其中U和。八2分别为正态分布的期望值和方差。t分布：设X是来自正态总体N(,2)的样本均值，S2是样本方差，n是样本容量，则样本标准化后得到的随机变量T=(X-U)/(Sn)服从自由度为n-1的t分布。它的概率密度函数和累积分布函数可用t分布表查找。卡方分布：如果X1X2,Xm是来自同一正态总体N(z2)的样本观测值，且这些观测值构成一个样本，样本容量为m,则经过一定的变换后所得到的随机变量Q=(Xi-)2/2)服从自由度为m的卡方分布。它的概率密度函数和累积分布函数可用卡方分布表查找。F分布：如果X1,X2,Xr和Y1,Y2,Ys分别是服从独立的卡方分布的m1和m2个样本观测值，则由这两个样本所形成的、经过一定的变换后所得到的随机变量F=(X1m1)/(Y1m2)服从自由度为(m1,m2)的F分布。它的概率密度函数和累积分布函数可用F分布表查找。以上是概率论和数理统计中的一些基本公式和定义，但并不是全部，概率论和数理统计是非常广泛且深奥的学科领域，还包括大量的定理、推论、应用等。